A l’approche choc Paris-Barça, j’avais envie de vous parler de coup franc.
Avec leurs trajectoires de balles parfois incroyables, ces phases de jeu ne cessent de fasciner.
Mais saviez-vous qu’un coup franc ne se tire pas pareil en été et en hiver? Comprenez-vous pourquoi votre ballon de plage ne prend jamais l’effet attendu?
Ensemble, faisons un rapide tour d’horizon de ce que la science nous a appris du coup-franc.

Balle au centre – on parle de quoi?

Nous allons voir comment ce simple mouvement de rotation va permettre d’infléchir la trajectoire du ballon pour mieux contourner le mur et tromper le gardien de but.

Explication du phénomène par la mécanique des fluides (application simple de l’équation de Bernoulli)

• plus l’air se déplace vite, plus sa pression est faible (pour les initiés, cela découle de l’équation de Bernoulli)
• un objet placé dans un gradient de pression aura toujours tendance à se déplacer vers les pressions les plus faibles.

Pour vous en convaincre, prenez une feuille en papier à son extrémité puis soufflez au dessus de la feuille.
L’air soufflé au dessus de la feuille aura une vitesse plus élevé que l’air situé sous la feuille. La pression sera donc plus faible au dessus de la feuille.
Vous observez alors que la feuille se redresse pour se déplacer vers les zones de pressions les plus faibles
En fait, c’est exactement le même effet qui explique la trajectoire courbée du ballon de football.

Lorsque vous shootez ‘normalement’ dans le ballon (ie sans brosser votre frappe), le ballon se retrouve propulsé dans les airs.
De l’air se déplace alors à grande vitesse le long de la surface du ballon. 

L’écoulement est symétrique par rapport à l’axe de la trajectoire de la balle, l’air s’écoule à la même vitesse  sur toutes les faces du ballon, il n’y a donc pas de différentiel de pression.
Maintenant si vous recommencez votre frappe en la brossant (ie en confiant au ballon un mouvement de rotation sur lui même)

L’air va accélérer sur l’un des côtés du ballon (lorsqu’il va dans le même sens que la surface) et va freiner sur l’autre côté du ballon lorsqu’il est opposé au mouvement de rotation de la surface. Ceci s’explique par les frottements que rencontre l’air avec la surface de notre ballon.
Dans cette situation, la vitesse est plus élevée sur l’un des côtés du ballon. Dans notre exemple, la pression sera donc plus faible sur la face gauche du ballon et sa trajectoire aura donc tendance à se courber vers la gauche.

Application des principes au très contrariant ballon de plage (introduction à l’écoulement de fluide visqueux)

Écoulement d’un fluide visqueux et introduction à la force de traînée:

Tout d’abord, lorsque les premiers scientifiques ont essayé de décrire l’écoulement d’un fluide visqueux dans un conduit ou autour d’un objet, ils se sont rendus compte que ce dernier évoluait significativement en fonction de trois variables : (i) la vitesse du fluide v, (ii) la masse volumique du fluide  et (iii) la viscosité dynamique du fluide .
De facto, pour décrire les différents écoulements possibles, Osborne Reynolds (un ingénieur irlandais) a choisi de créer un nombre sans dimension regroupant ces trois facteurs  (Re=vL/) et a commencé à étudier la structure des écoulements en fonction de ce nombre.
La seule chose que vous avez besoin de comprendre à ce niveau, c’est que le nombre de Reynolds Re fait intervenir:

•  et  qui seront constants sur notre match de football (ils ne dépendent que de la météo).
• L: une longueur caractéristique qu’on considérera constante pour un type de ballon donné.
• et v : la vitesse de l’air (et donc du ballon) qui dépendra de la force de frappe du tireur.

Une fois ceci dit, il faut comprendre que lorsqu’un fluide visqueux s’écoule autour d’un objet, un petit coussin de fluide se forme à la surface de l’objet. Dans ce coussin, la vitesse du fluide est quasi nulle (comme s’il était collé au ballon). Ce coussin est communément appelé « couche limite ».
A l’endroit où la couche limite se décolle, à l’arrière du ballon, elle laisse place à un sillage turbulent où les vitesses des particules fluides sont augmentées, ce qui entraîne une chute de la pression (c’est la traînée blanche que vous observez derrière les avions).
Or, rappelez vous l’expérience de la feuille, différence de pression implique force tendant à déplacer l’objet. En fait cette force est appelée force de traînée et tend à freiner notre ballon.

En fonction de la vitesse du ballon et donc de Re, nous observons deux différentes phases:

• Jusqu’à Re= 2×10^5 [de A à B], plus vous frappez fort dans le ballon, plus vous augmentez sa vitesse. Or plus vous augmentez la vitesse du ballon, plus la couche limite sera courte et le sillage turbulent large et donc plus la force de traînée sera importante. En gros, plus vous tirez fort, plus le ballon est ralenti par frottement, jusque là pas de scoop…
• Lorsque Re dépasse 2×10^5 [C] , il se produit un phénomène étonnant qui s’appelle la crise de traînée. En gros, les particules d’air de la couche limite jusqu’alors quasi immobiles se mettent à bouger de façon chaotique et consomment donc en partie l’énergie que se gardait bien égoïstement le sillage turbulent. Conséquence, lorsque Re dépasse 2×10^5, le sillage turbulent rétrécit et la force de traînée diminue soudainement.

En fait, sans le savoir, vous avez tous déjà observé ce phénomène de crise de traînée en shootant dans un ballon de plage. 

En effet, quand vous shootez dans un ballon de plage, ce dernier part très vite (Re est supérieur à 2 x10^5), puis au bout de quelques mètres le ballon s’arrête brutalement (son Re vient de passer sous la barre des 2×10^5). 

Alors pourquoi je n’observe pas ce phénomène de crise de traînée avec mon ballon de football?
Et bien en fait si, au football ce phénomène existe bien et peut notamment s’apercevoir sur les dégagements de gardien. Toutefois, le freinage du ballon de football est beaucoup moins marqué qu’avec un ballon de plage pour deux raisons:

• L’inertie d’un ballon de football est plus importante que celle d’un ballon de plage,
• La rugosité d’un ballon de football (de part ses coutures notamment) est plus importante, ce qui a pour effet de baisser significativement la vitesse limite à laquelle se produit la crise de traînée. Par conséquent, le freinage (transition Phase C  → Phase B (figure4)) se produit à des vitesses plus faibles.  [En fait pour un ballon de football, le nombre de Reynolds limite n’est pas de 2×10^5 (vrai pour un ballon lisse) mais de 10^5]

C’est notamment pour maintenir une rugosité importante que les fabricants continuent de garder les coutures sur leur ballon alors qu’ils sauraient très bien s’en affranchir par moulage. A ce tire, le Jabulani d’Adidas est réalisé par moulage, mais sans surprise les coutures ont été remplacées par des rainures destinées à maintenir une certaine rugosité de surface.

Et notre effet inverse dans tout ça?

Et bien, il découle directement de tout ce qui a été dit plus haut. Sauf que lorsque vous ajoutez au ballon une vitesse de rotation sur lui même, votre couche limite (collée au ballon) n’a plus une vitesse nulle mais tourne avec le ballon. La vitesse du fluide à prendre en compte pour le calcul du nombre de Reynolds est donc la vitesse relative de l’air par rapport à la couche limite. Et cette vitesse relative change donc selon que l’air s’écoule dans le sens de rotation du ballon ou en sens inverse.

 

Et cette asymétrie des nombres de Reynolds va provoquer un effet magique.
Lorsque vous shootez dans votre ballon et que sa vitesse diminue, le ballon passe par une phase où l’une de ses faces possède un nombre de Reynolds > 2×10^5 et l’autre face un nombre de Reynolds < 2×10^5.
Cette crise de traînée asymétrique provoque alors un décalage du sillage turbulent (une couche limite est plus courte que l’autre) et va alors modifier l’orientation de la force de traînée.

Conclusion – Influence de déviation de la force de traînée sur un terrain de football

Références:
Deux versions du très bon papier de ces messieurs David Quéré et Christophe Clanet.
http://www.editions.polytechnique.fr/files/pdf/EXT_1615_9.pdf
http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/9/093004/pdf/1367-2630_12_9_093004.pdf
Quelques cours et articles traitant du sujet:
http://ethesis.inp-toulouse.fr/archive/00000567/01/elakoury1.pdf
http://e2phy.in2p3.fr/2008/documents/presentations/Cours_Etienne_Guyon.pdf
http://webinet.blogspot.fr/2010/06/le-jabulani-se-prend-il-pour-une-banane.html

Introduction au jeu des cochons

En bref, le jeu des cochons est un jeu de dé très simple opposant deux joueurs. Lorsque son tour vient, un joueur a le droit de lancer le dé autant de fois qu’il le veut tant qu’il ne fait pas de « 1 ». Si l’obtient un « 1 », le joueur ne marque aucun point et cède son tour à l’adversaire. Toutefois avant chaque lancer de dé, le joueur possède deux options :
(i)     S’arrêter là et céder son tour à l’adversaire. Il marque alors les points cumulés sur tous les lancés de dé du tour.
(ii)   Relancer le dé et venir augmenter son capital de points sur le tour, sachant que s’il obtient « un 1 », il perdra l’ensemble des points cumulés sur le tour et devra céder son tour.
Le premier joueur à atteindre 100 points a gagné.
Ainsi, par sa structure, le jeu pourrait être comparé à une opération de spéculation sur des actifs financiers. Je risque un capital précédemment acquis pour tenter d’augmenter mon gain.

La performance: maximiser ses gains

Une stratégie cherchant à maximiser ses gains à chaque tour (ie minimiser le nombre de coups nécessaires pour atteindre 100) s’appuiera sur l’espérance mathématique de gain. En d’autres termes, compte tenu des probabilités d’occurrence de chaque nombre, quel montant suis-je en droit d’espérer à chaque tour ?  Là-dessus, les mathématiques peuvent nous aider, l’espérance de gain à chaque tour est de 20 points.

Explication : les nombres pouvant me permettre d’augmenter mon capital de points sont 2,3,4,5 et 6 (soit une espérance de gain de 4). Or, à chaque lancé de dé, je dispose d’une chance contre 5 de faire un « 1 » et ainsi de perdre. L’espérance totale d’un tour est donc de 5 x 4 = 20.

Ma stratégie consistera donc à viser les 20 points sur chaque tour et m’arrêter une fois ceux-ci obtenus.
Notons bien que cette stratégie ne s’inscrit pas dans un objectif de record (qui ne serait alors qu’une compétition contre moi même).
Cette stratégie me garantit juste d’ »être bon ».

Stratégie optimale pour la victoire

Maintenant, changeons un peu d’objectif, je ne cherche plus à maximiser mes gains à chaque tour (ce que j’ai appelé « être bon ») mais je cherche à battre mon adversaire.
Et bien là, croyez-le ou pas, la stratégie change complètement. En outre, le choix à opérer ne dépend plus de mon seul capital de points déjà acquis sur le tour, mais dépend également de mon total de points et du total de points déjà acquis de mon adversaire.
Ci-dessous, une vision en trois dimensions de la limite entre l’espace de décision « jouer » et l’espace de décision « s’arrêter là » d’après la stratégie optimale. On y représente ainsi le nombre de points k à atteindre sur un tour avant de s’arrêter en fonction du nombre de points i que je possède déjà et du nombre de points j de mon adversaire. Cette courbe a été obtenue sur Excel à partir du système d’équations décrit dans le chapitre ‘pour aller plus loin’.

Pour faire simple, si vous vous situez sous la surface, la stratégie optimale vous recommande de jouer, si vous êtes au–dessus, la stratégie optimale vous recommande d’arrêter, de comptabiliser vos points et de céder votre tour.
Prenons comme convention: i: mon nombre de points, j: le nombre de points de mon adversaire, et k: le nombre de points cumulés sur le tour auquel il m’est recommandé de m’arrêter de jouer.
Assez logiquement, la surface de décision est bornée par le plan k=100-i. En effet, si mon nombre de points est de i=70 et que mon score cumulé sur le tour est de k=30, je n’ai aucune raison de continuer à jouer, j’ai gagné et ce quelque soit le nombre de points j de mon adversaire.

Comparaison des deux stratégies

A priori, les deux objectifs ne semblait pas si différents l’un de l’autre. D’un côté je cherchais à maximiser mon score à chaque tour et de l’autre je cherchais à battre mon adversaire. Intuitivement, on pouvait quand même prévoir quelques dissemblances aux cas limites. Exemple: je suis à 78 points, mon adversaire est à 95 points, je ne vais pas m’arrêter à 20 points et lui laisser le dé alors que je suis à deux points de la victoire.
Toutefois, on aurait pu se dire que, à une vache près, les cas doivent se compenser. On aurait même pu penser que la surface de la courbe (représentant le nombre de points pour lequel il faut arrêter de jouer et céder son tour) avait pour moyenne 20. N’y pensez pas, la moyenne est de 26 coups dans la seconde stratégie, soit 30% de plus que l’espérance mathématique de gains!

Ainsi, en moyenne, la stratégie 2, en intégrant le facteur ‘adversaire’, nous incite à jouer là où la stratégie 1 et le calcul de l’espérance mathématique nous recommande d’arrêter.

Pour ma part, j’aime à dire que cet écart traduit le coût de la ‘prise de risque’ induite par la compétition.
Enfin, seul point de rapprochement entre les deux stratégies, lorsque je me place loin des limites de la deuxième stratégie, c’est à dire dans le cas où mon adversaire et moi-même comptabilisons tous deux 50 points, dans ce cas le k optimal est à 21 points. Ainsi dans cette situation ponctuelle, les deux stratégies se rejoignent (cf ci-dessous – coupe transversale obtenue pour un nombre de points de l’adversaire fixé à 50 points).

Ci-dessus, sont représentés les deux stratégies dans le cas spécifique où mon adversaire a 50 points au compteur. La stratégie 1, qui ne tient pas compte de la compétition avec mon adversaire, prévoit comme décrit plus haut un k fixe à 20 points et intersecte la stratégie 2 quand mon nombre de points avoisine 50 points.

Conclusion 

La stratégie pour gagner est différente de la stratégie visant à maximiser le nombre de points à chaque tour.
Une fois cette réalité acceptée et digérée, peut-être pourriez-vous vous réinterroger sur vos vrais intentions au quotidien.
Voulez-vous être le plus heureux possible ou plus heureux que votre voisin ? Voulez-vous maximiser les gains de l’entreprise ou dépasser les résultats obtenus l’an passé ?Vous pensiez sans doute que ces objectifs accouchaient des mêmes stratégies, aujourd’hui vous savez que c’est faux, alors réfléchissez une fois encore sur le cap, il se pourrait bien que l’itinéraire change un peu.

Références:
Todd W. Neller and Clifton G.M. Presser. Pigtail: A Pig Addendum, The UMAP Journal 26(4) (2005), pp. 443–458.
Todd W. Neller and Clifton G.M. Presser. Practical Play of the Dice Game Pig, The UMAP Journal 31(1) (2010), pp. 5–19.

Pour aller plus loin :

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