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Les boîtes de Bertrand – quand votre intuition vous prive d’une bonne nouvelle

Jérôme Malot — Mon, 02 Nov 2015 19:33:43 +0000

Qu’il est troublant de voir à quel point notre cerveau est inadapté à l’appréhension des probabilités conditionnelles. Un handicap nous poussant malheureusement parfois à prendre les mauvaise décisions comme l’illustre le paradoxe de Monty Hall.
Une des variantes de ce paradoxe s’appelle le problème des boîtes de Bertrand (du nom du mathématicien français Jean Louis François Bertrand) et en voici une illustration.

Vous faites face à trois boites aux lettres.
– l’une d’elle contient une bonne et une mauvaise nouvelle.
– l’une d’elle contient deux bonnes nouvelles.
– enfin la dernière contient deux mauvaises nouvelles.

On vous propose d’ouvrir une boite aux lettres et vous en sortez une bonne nouvelle.
Avant de piocher la seconde enveloppe, d’après-vous quelle est la probabilité que la deuxième lettre soit aussi une bonne nouvelle?

Solution du problème de Bertrand

Afficher la solution du problème de BertrandCacher

L’intuition pousse une majorité de personne à répondre 1 chance sur 2. En effet, la première enveloppe vous indique qu’il s’agit soit de la première boite aux lettres, soit de la seconde.
Toutefois, prenons le temps de considérer toutes les issues de tirages possibles avant l’ouverture de la première enveloppe.

(bal=boite aux lettres_numero de l’enveloppe)

Si je me restreint aux issues possibles après le premier tirage, je constate que la probabilité d’obtenir une bonne nouvelle à la deuxième enveloppe est 2/3 et non 1/2…

Illusions cognitives – Extension au problème de Monty Hall

Dans l’expérience de la boite de Bertrand, l’individu oublie souvent que la probabilité de tomber sur une boite aux lettres avec deux nouvelles identiques est plus importante que de tomber sur une boite aux lettres ‘mixte’.
Cette probabilité antérieure au premier tirage est neutre pour le résultat du premier tirage mais possède des répercussions sur les tirages suivants.
Un autre problème utilise ce mécanisme de probabilité masquée pour créer ce que l’on appelle une illusion cognitive.
Imaginez cette fois une rangée de 3 boites au lettres contenant chacune une enveloppe. Parmi ces enveloppes, une seule contient une bonne nouvelle.
Je vous demande de prendre une boite aux lettres, puis, pour maintenir le suspens, je choisi d’ouvrir devant vos yeux une des deux autres boites aux lettres restantes contenant une mauvaise nouvelle.
Il ne reste donc que deux boites aux lettres: celle que vous avez choisie et une autre.
Est-il judicieux à ce moment de changer de boite aux lettres pour espérer tirer la bonne nouvelle?

Solution du problème de Monty Hall

Afficher la solution du problème de Monty Hall

Une fois encore, une mauvaise intuition nous poussera à dire que les chances d’avoir une enveloppe ou l’autre sont égales. Pourtant, soyez-en sûr, il faut changer de boite aux lettres.
En effet, lorsque vous avez choisi votre boite aux lettres, vous aviez une chance sur 3 de prendre la bonne nouvelle. Si vous décidez de la garder, vous maintenez donc cette probabilité de gain à 1/3.
Lorsque je vous ai volontairement ouvert une enveloppe ‘mauvaise nouvelle’, j’ai possiblement apporté une information.
En fait:

Soit vous aviez sélectionné une ‘bonne nouvelle’. (1 chance sur 3) Et dans ce cas, j’ai ouvert l’une des deux autres boites aux lettres au hasard (je n’ai pas apporté d’information).
Soit vous aviez sélectionné une ‘mauvaise nouvelle’. (2 chances sur 3) Et dans ce cas, j’ai choisi d’ouvrir la boite aux lettres contenant l’autre mauvaise nouvelle (et je vous ai apporté une information en vous désignant la ‘bonne’ boite aux lettres à ouvrir).

Il y a donc deux chances sur trois que je vous ai indiqué la bonne boite aux lettres à choisir et il est donc plus judicieux pour vous de modifier votre choix.

Conclusion

Pas toujours facile donc de prendre la bonne décision. Plus tangible que l’allégorie de la caverne, le problème de Bertrand est, à mon sens, une preuve évidente de la difficulté de l’homme à appréhender fidèlement le monde. Alors, au prochain arbitrage, faites vos comptes et ne laissez pas votre intuition vous priver d’une bonne nouvelle.

Petit bêtisier scientifique – L’époque où Vulcain n’était pas qu’une planète de Star Trek [4/7]

Jérôme Malot — Sun, 30 Aug 2015 09:48:29 +0000

Au 19ème siècle, on s’emmêlait déjà un peu les pinceaux en sciences avec Kelvin, sa bande et leur délibération sur l’âge de la terre [voir le billet sur Kelvin et l’âge de la terre]. Mais au concours de celui qui se trompera le plus fort, un polytechnicien a, lui aussi, porté haut nos couleurs en 1860. Et si l’histoire n’en a gardé qu’un nom gravé sur le premier étage de la Tour Eiffel, l’homme disposait toutefois d’une certaine notoriété à l’époque. Urbain Le Verrier est en effet un des pères de la météorologie moderne et on lui devait déjà à cette époque la découverte de Neptune. Un joli CV qui le porta jusqu’à la découverte de Vulcain, une planète d’autant plus difficile à découvrir qu’elle n’a jamais existé.

Où était située Vulcain d’après Urbain?

Système solaire incluant la planète imaginaire Vulcain – Les distances orbitales ne sont ici pas respectées (pour info ces dernières suivent normalement une suite arithmético-géométrique de raison 2 [loi de Titius-Bode])

Comment Urbain a-t-il pu découvrir une planète qui n’existe pas?

Il n’est pas toujours nécessaire de voir quelque-chose pour en prédire l’existence. Aussi, à la sortie du métro Bastille, pas besoin d’attendre de voir une cravate à rayure pour comprendre que le contre-flux pressé de fraudeurs révèle la présence attenante de contrôleurs.
En 1845, Urbain Le Verrier appliqua ce raisonnement pour prédire l’existence de Neptune, alors que personne ne l’avait encore observée [1]. A l’instar des personnes marchant à contre-sens dans les couloirs du métro, Urbain avait observé des perturbations sur la trajectoire d’Uranus. Ces perturbations pouvaient alors s’expliquer, par le calcul, par la présence d’un corps exerçant une force gravitationnelle sur Uranus: Neptune.

Quelle erreur Urbain a-t-il faite pour Vulcain?

Fort de la découverte de Neptune, Urbain récidiva avec l’orbite de Mercure, qui subissait, elle aussi, des perturbations. Pour être précis, son périhélie (sa position la plus proche du soleil au cours de son orbite) se déplaçait plus rapidement que prévu.

Illustration du déplacement du périhélie d’une planète autour du soleil

A priori, le déplacement du périhélie n’est pas quelque-chose d’étrange (on l’observe sur l’orbite de toutes les planètes) et si nous ne l’avons jamais étudié au lycée, c’est parce que nous avons toujours considéré des problèmes à deux corps (Soleil+planète), alors que les planètes s’attirent toutes les unes les autres (nous parlerons de tout ça dans un prochain billet sur le problème à trois corps et la plus belle erreur de Poincaré).
Le fait est que la mécanique Newtonienne prédit un déplacement du périhélie de Mercure un peu plus lent que celui observé (on parle d’une demie minute d’arc par siècle).
Pas de problème, Urbain déroule ses calculs et explique alors à la communauté scientifique que ce phénomène peut s’expliquer par la présence d’une nouvelle planète intra-mercurienne.
Problème, au cours des décennies qui suivirent, personne ne réussit à observer celle que l’on avait baptisée Vulcain…
Il faudra attendre plus d’un demi siècle pour qu’Einstein arrive avec sa théorie de la relativité générale et explique les irrégularités orbitales observées par la théorie Newtonienne: Vulcain n’était plus.

[1] En fait, ce n’est pas tout à fait vrai. L’histoire raconte qu’avant 1845, quelques scientifiques avaient déjà observé Neptune sans y prêter attention. Galilée himself, l’aurait d’ailleurs confondue avec une étoile lointaine.

Références:
http://www.le-systeme-solaire.net/vulcain.html
http://www.aim.ufr-physique.univ-paris7.fr/CHARNOZ/homepage/GRAVITATION/grav6.html

L’effet Zeigarnik – comment hacker votre mémoire en procrastinant

Jérôme Malot — Mon, 10 Aug 2015 20:53:16 +0000

C’est vrai, jusqu’ici nous avons fait la part belle aux sciences dures, mais aujourd’hui nous allons pénétrer l’univers plus doux de la psychologie en empruntant le pont magique de la neurobiologie. Plus spécifiquement, nous allons voir comment il est possible de tromper notre cerveau pour le forcer à consolider un souvenir ou une information.
Mais avant cela, je vous propose un petit jeu :
Voici une liste de questions très simples, auxquelles je vous demande de répondre rapidement mais sérieusement dans votre tête sans chercher à les mémoriser. A la fin de l’article, je vous reposerai ces questions et vous pourrez comparer vos nouvelles réponses avec les miennes.
Donnez un mot français masculin commençant par la lettre ‘P’.
Donnez un mot contenant au moins 2 fois la lettre ‘A’.
Donnez un mot qui rime avec ‘Bêtise’.
Donnez le nom d’un fruit commençant par la lettre ‘F’.
Donnez un mot qui rime avec ‘Chanson’.
Donner le nom d’un animal commençait par la lettre ‘C’.
Donnez un mot qui rime avec ‘Monstre’.

Rapide introduction (très simplifiée) de la mémoire et de la fixation mnésique

Pour commencer, il faut voir le cerveau comme une gigantesque ville composée de maisons : les neurones. Ces maisons sont toute construites avant notre naissance et on en compte entre 100 et 200 milliards [soit près de 10 fois plus que le nombre de grains de sable contenus dans le seau de votre enfant]. Ces maisons peuvent contenir de l’information mais la ville ne délivre plus de permis de construire, impossible donc de fabriquer de nouveaux neurones [1]. Au cœur de cette ville, un immense carrefour, l’hippocampe. D’ici partent de gros camions possédant l’information (les souvenirs) à transmettre aux neurones. Selon le type d’information qu’ils transportent (sémantique,
procédurale,…), les camions se dirigent vers tel ou tel quartier de la ville (lobe temporal, cervelet, etc…). En se déplaçant de maisons en maisons, les camions tracent dans la terre des routes naturelles (appelées liaisons synaptiques), ces routes peuvent s’effacer avec le temps où être retracées par le passage d’autres camions. De fait, plus un camion aura un chargement lourd (souvenir marquant : un accident par exemple), plus il tracera un chemin durable. De même, si plusieurs camions empruntent plusieurs fois la même route (exemple : le souvenir répétitif de nos révisions de tables de multiplication), le chemin tracé sera plus tenace. Enfin, si le cerveau estime que le chargement du camion est important (comme lorsque vous vous concentrez), il peut lui même lester le chargement pour marquer d’avantage le chemin tracé. C’est l’ensemble des traçages efficaces de ces routes que l’on nomme fixation mnésique.
Dès lors la mémoire ne peut pas être perçue comme une liste d’empreintes permanentes. Un souvenir n’est bien que la reconstruction présente d’un événement. Reconstruction rendue possible par la juxtaposition de l’information des neurones via l’empreint de ces routes synaptiques plus ou moins bien tracées.
Et c’est sans doute dans ce rapport étroit entre mémoire et imagination que se situe toute la magique complexité du mécanisme mnésique.

L’effet Zeigarnik – l’apologie de la procrastination

Avant d’avoir peut-être abusivement emprunté le terme d’effet, Zeigarnik était le nom d’une sublime psychiatre d’origine Lituanienne exilée à Moscou. Petite, brune, le regard dormant, le genre de femme à faire divorcer un curé fraichement marié [expression empruntée à ce bon F. Dard].
Bluma Zeigarnik s’était étonnée de voir que les garçons de café retenaient parfaitement toutes les commandes de clients non encore achevées mais oubliaient ces dernières aussitôt le client servi. Quelques temps plus tard, Bluma décida de confronter son intuition à l’expérience et demanda à plusieurs groupes d’enfants de réaliser une vingtaine de petits travaux (puzzle, dessin d’animaux, création de collier,…). Certaines opérations furent interrompues avant leur terme, les autres activités, quant à elles, furent dûment terminées. Quelques jours plus tard, on demanda aux enfants quels travaux leurs avaient étés demandés ce jours là, on nota alors que les taches laissées inachevées avait été citées 150% de fois plus que les taches terminées.
Lorsque l’expérience fut reconduite sur des adultes, ce chiffre fut ramené à 90%.

Ce phénomène s’explique par le fait, qu’en dehors de la répétition, la mémorisation (fixation mnésique) reste toujours sous le contrôle d’un mécanisme plus ou moins conscient. Dès lors, n’est mémorisé que ce qui est jugé important; important au regard de ce qui a déjà été mémorisé. Cette approche permet notamment de mieux appréhender l’amnésie relative de l’enfant de moins de 5 ans.
Ainsi, si vous avez décidé d’apprendre le mandarin cet été et que vous êtes arrivé au chapitre crucial des 4 tons. Arrêtez vous donc en plein milieu d’une phrase, vous savez la phrase qui s’apprête à vous livrer l’astuce infaillible pour différencier le ton haut du ton montant. D’abord frustré, quand vous reprendrez votre lecture quelques jours plus tard, vous devriez constater que le début de ce chapitre a été mémorisé bien plus efficacement.

Comment les publicitaires/la télévision utilisent déjà l’effet Zeigarnik

Il faut bien comprendre que l’effet Zeigarnik dépend de la motivation que vous avez à terminer la tache inachevée. Ainsi lorsqu’ Omar Sy interrompt la belle blonde alors qu’elle s’apprête à boire son verre de Finley, l’activité mnésique est moins affectée que lorsque, devant votre série préférée, un écran noir interrompt soudain la chute du jeune Bran Stark. Les américains appellent d’ailleurs ceci un cliffhanger.
Balzac a lui aussi longtemps utilisé cette technique, notamment lors de la parution de La vieille fille qu’il publia pour la première fois sous forme de roman feuilleton dans La Presse.

Solution du petit jeu sur la liste de question :

Dans la liste de questions que je vous ai proposées, il y avait une question n’ayant pas de solution existante. De fait, vous avez donc dû arrêter de chercher la réponse pour continuer l’article. Ainsi, si vous vous êtes appliqué à répondre et que vous avez cherché un peu la solution avant d’abandonner temporairement, l’effet Zeigarnik prévoit que les questions posées, et notamment la question abandonnée, ont été mémorisées plus efficacement que le reste de l’article (tant pis pour moi). Vous rappelez-vous de cette question?

Références:
Expérience de Bluma Zeigarnik:
http://codeblab.com/wp-content/uploads/2009/12/On-Finished-and-Unfinished-Tasks.pdf
La mémoire, article de l’INSERM:
http://www.inserm.fr/thematiques/neurosciences-sciences-cognitives-neurologie-psychiatrie/dossiers-d-information/memoire
Article de J-C Tabary
http://cerveau.pensee.free.fr/livre/Memoire.html
Article de Serge Laroche publié dans Pour la science
http://acces.ens-lyon.fr/acces/ressources/neurosciences/archives-formations/neuros_apprentissage/memoireapprentissage/LAROCHE-Pour_la_Science.pdf
Plasticité cérébrale et potentialisation:
http://acces.ens-lyon.fr/biotic/neuro/plasticite/html/potentialisation.html
Dossier INSERM sur l’apprentissage mnésique
www.inserm.fr/content/download/…/Dossier_SS4_SEPT_OCT2011.pdf

Pour aller plus loin, fonctionnement détaillé de la plastification synaptique :

Afficher

Exercice d’application : Oubliez ce que l’on a dit plus haut ! En effet, l’idée de discrétiser l’information pour la répartir et stocker dans chaque neurone une parcelle rudimentaire de mémoire est une vision bien erronée du fonctionnement de la mémoire. Toutefois, cette simplification m’a permis d’appréhender plus simplement le mécanisme de plasticité synaptique (avec l’histoire des camions d’information et des traces laissées). Pour être plus juste, un souvenir correspond d’avantage à la variation d’activité d’un réseau de neurones dans un laps de temps donné. Pour reprendre les mots de Serge Laroche [directeur de recherche au CNRS et spécialiste reconnu de la mémoire], il faut donc voir un souvenir plus comme une « configuration unique d’activité spatio-temporelle de neurones interconnectés ».
L’activité d’un neurone se traduisant par l’intensité de son impulsion électrique, cette impulsion est ensuite retraduite par l’émission de neurotransmetteurs. Ces neurotransmetteurs assurent le relais de l’information dans la « fente synaptique» séparant deux neurones, mais une fois ces derniers récupérés par les récepteurs du second neurone (neurone post-synaptique), l’information est reconvertie en signal électrique.
C’est au niveau de ces neurotransmetteurs et des récepteurs les collectant que se commande la plasticité synaptique (et donc l’impression du souvenir). Le récepteur spécifiquement dédié est le le récepteur NMDA. Par défaut, ce récepteur est inactif mais lorsque le premier neurone (neurone pré-synaptique) lui envoie une quantité importante de Glutamate (un type de neuro-transmetteur), le récepteur NMDA s’active et ouvre un robinet (‘canal ionique’) inondant alors la zone d’ions calcium. Ces ions provoquent une cascade de réactions moléculaires aboutissant à la modification durable de la synapse. Lorsque vous vous concentrez sur la mémorisation d’une information à laquelle vous donnez une importance qu’elle n’a pas intrinsèquement, vous faites alors intervenir un troisième neurone modulateur catalysant les échanges entre neurones pré-synaptique et post-synaptique.

Ci-dessous, un petit clip explicatif amusant publié dans les années 90 par l’INSERM (Institut National de la Santé Et de la Recherche Médicale).

Pour aller plus loin, autre astuce de mémorisation basée sur le mécanisme de plastification synaptique :

AfficherCacher

Plus petit, je me rappelle d’un ‘tour de magie’ que faisait mon père. Je devais écrire une liste de 50 mots sur une feuille de papier, puis lui dicter doucement, un par un, chaque mot une fois. Une fois la liste donnée, il était capable de me réciter cette liste dans le bon ordre sans erreur.
Ça n’a l’air peut-être de rien comme ça mais, sans méthode, je vous défie d’accomplir l’exercice.
Le truc est pourtant bluffant de simplicité. Comme l’explique la vidéo partagée un peu plus haut, pour retenir rapidement une information, l’astuce est d’utiliser au maximum le réseau synaptique pré-existant (les chemins qu’on déjà tracés nos camions dans le passé), puis de créer des chemins les plus courts possibles (une image, une mélodie,…) entre ce réseau et l’information à retenir.
Dans le tour de magie de mon père, il y avait un travail amont. Il fallait retenir une première liste de 50 objets/animaux. Pas de miracle, cette liste devait s’apprendre par la répétition et être connue par cœur dans le bon ordre.
Une fois la première liste connue, lorsque je lui proposais ma liste, mon père se contentait alors de construire dans sa tête des images associatives marquantes entre mes mots et ses mots (ex: un singe suspendu à un vélo).
Lorsqu’il devait restituer ma liste, il lui suffisait alors de repenser à chacun des mots de sa liste, apprise par cœur, puis les images lui revenaient naturellement une à une.
Vous pouvez essayer chez vous. Avec un peu d’entrainement vous verrez qu’on peut même monter à beaucoup plus que 50 mots. De quoi cabotiner un peu en soirée.

[1] Des chercheurs ont montré la formation de nouveaux neurones, notamment dans l’hippocampe. Ces neurones semblent avoir le pouvoir de migrer et de se placer entre des neurones existants tout en respectant l’architecture préétablie. A ce jour, le rôle précis de ces nouveaux neurones dans la fixation mnésique n’est pas encore solidement établi.

Happn vu mathématiquement – Comment maximiser vos chances de rencontre

Jérôme Malot — Sun, 05 Jul 2015 18:32:14 +0000

Happn vous connaissez? C’est cette application (made in France) qui vous propose de revoir la jolie inconnue croisée au détour d’une ruelle et que vous n’avez pas osé aborder. Et bien aujourd’hui nous allons parler vrai sinon peu: comment maximiser vos chances de rencontre sur un trajet?
Happn ou pas, en réalité le problème est universel: quel moyen de locomotion me permettra de croiser le plus de jolies filles/charmants jeunes hommes lorsque je me déplace d’un point A à un point B.

Introduction – La selle ou les baskets?

Pour simplifier, nous pourrions nous demander quel mode de transport (entre le vélo ou la marche à pied par exemple) permet de croiser un maximum de demoiselles/jeunes hommes.
A priori des arguments prévalent dans les deux camps…
Lorsque je me déplace d’un point A à un point B:
Si je suis à pied, mon temps de trajet sera plus long, j’ai donc plus de chance de croiser des joli(e)s filles/mecs… Toutefois si je suis à vélo, je vais pouvoir dépasser des personnes que je n’aurais pas croisées autrement… En fait, par certains aspects, ce problème se rapproche de cette question que l’on s’est tous déjà posé: « doit-on marcher ou courir sous la pluie? » (Je vous joins à ce titre deux articles aux conclusions opposées: histoire de ne pas trop me mouiller… ohohoh).
[Il faut courir: arguments ici / il faut marcher : arguments ici}

Modèle et calculs théoriques – pour ceux qui veulent comprendre la méthode

Afficher le détail du calcul

Hypothèses:
Pour résoudre ce problème, il nous faut d’abord modéliser un trajet type.
Pour cela, nous allons imaginer une route droite que je m’apprête à parcourir à pied et à vélo entre un point A et un point B.
Je vais donc chercher à comparer le nombre moyen de filles que je croiserai en vélo et à pied en fonction d’un certain nombre de paramètres.
Tout d’abord, je vais donc faire quelques hypothèses:

Toutes les filles sur la route se déplacent soit dans la direction de mon trajet, soit dans la direction opposée. Finalement, on suppose que les filles qui attendent sur le bord de la route sont en moyenne constante (en nombre…) sur l’ensemble du trajet et on néglige les effets d’heure d’affluence.
Des filles apparaissent aléatoirement sur le trajet et choisissent de partir à gauche ou à droite.
Une fois sur le trajet, une fille se déplace jusqu’à atteindre le point A ou le point B (en gros, une fois sur la route elles ne la quittent plus et ne font pas demi-tour).

Une fois ceci établit, nous allons définir:
Q: le nombre moyen de filles par minute et par mètre de trajet qui arrivent sur la route. Popp et Pdir: Les probabilités qu’une fille marche dans une direction respectivement opposée et identique à la mienne. Dans un premier temps nous prendrons Popp=Pdir=1/2.
Vf: la vitesse de marche des filles.
L: la longueur du trajet.
V: ma vitesse.
T: le temps de mon trajet
Enfin, nous distinguerons deux nombres:
Nopp: le nombre de filles croisées qui marchaient dans une direction opposée à la mienne.
Ndir:le nombre de filles croisées qui marchaient dans une direction identique à la mienne.

Calculs:
Il faut d’abord remarquer que Nopp et plus facile à calculer que Ndir pour une raison simple: lorsque que je ne considère que les filles marchant dans une direction opposée à la mienne et que je suis à un point x(t) de mon parcours, toutes (et seulement) les filles qui apparaîtront devant moi (c’est à dire dans un intervalle (L-x(t)) seront des filles que je croiserai. J’obtient alors:

Après intégration, et en prenant Popp=1/2:

Ce résultat est bien sûr valable quelque soit ma vitesse V.
En revanche, lorsque je cherche à calculer le nombre de filles croisées allant dans la même direction que moi, je dois distinguer deux cas:

Si je marche plus doucement que les filles, certaines me doubleront. Je ne croiserai que les filles qui ont eu le temps de me rattraper avant que j’arrive au point B. C’est-à dire celles me succédant et se situant dans un intervalle que nous nommerons d(t).
Si je marche plus rapidement que les filles, j’en dépasserai certaines. Je ne croiserai que les filles que j’ai eu le temps de rattraper avant qu’elles n’arrivent au point B. C’est-à dire celles me précédant et se situant dans un intervalle que nous nommerons D(t).

En comparant les temps de trajets restant, on peut définir d(t) et D(t) comme suit :

puis calculer les Ndir correspondant à chaque situation (ci-dessous avec Pdir=1/2):

Résultats

Cas standard:

Et bien tout d’abord sachez que si les filles sur mon trajet ont une probabilité égale de se déplacer dans ma direction ou dans une direction opposée à la mienne (Popp=0,5 pour ceux qui ont lu le détail du calcul) alors le résultat est sans appel: la marche à pied est à privilégier.

En fait, il suffit de tracer la courbe représentant le nombre de rencontres faites en fonction de ma vitesse de déplacement sur le trajet, pour se rendre compte que plus on va vite, moins on croise de gens.

Cas d’un trajet vers une zone plus fréquentée:

Toutefois, l’hypothèse consistant à dire que les filles sur mon trajet ont une probabilité égale de se déplacer dans ma direction ou dans l’autre n’est sans doute pas pertinente lorsque je me déplace vers une zone de forte affluence (un concert, un musée, la rue de la soif, …). En effet sur le trajet les gens auront plus tendance à se déplacer vers ce concert/musée/… que dans le sens inverse.
On peut donc s’interroger sur le résultat obtenu lorsque je fais varier la probabilité qu’une fille marche dans une direction opposée à la mienne (Popp).

Popp=0 : toutes les filles vont dans la même direction que moi – Popp=1 : toutes les filles vont dans une direction opposée à la mienne.

Une fois encore, les chiffres parlent d’eux-même, lorsque sur votre trajet, moins d’une fille sur quatre marche dans un sens contraire au votre: prenez le vélo, vous ferez alors plus de rencontres.
D’ailleurs, chose amusante, pour un Popp<0.5, si l’on trace la courbe représentant le nombre de rencontres faites en fonction de ma vitesse de déplacement sur le trajet, on voit alors apparaître un genre de « puits d’isolement » correspondant à un intervalle de vitesses dans lequel je croiserai significativement moins de monde.

Conclusion: lorsque vous vous déplacez d’une zone peu fréquentée vers une zone très fréquentée : prenez votre vélo. Dans tous les autres cas, préférez la marche à pied et marchez à peine moins vite que d’ordinaire.

Références:
je vous joins mon fichier de calcul Excel [ici].

**Pour aller plus loin (à ne lire qu’après avoir lu la partie « Modèle et calculs théoriques »)**

AfficherCacher

En fait, les puristes ne seront pas satisfaits avec l’idée d’un Popp constant… et il serait légitime de penser que cette probabilité varie en fonction de x(t).. A priori, si je me déplace vers un concert, plus je me rapprocherai de la zone, plus les gens que je croiserai auront tendance à suivre la même direction que moi.
Allez soyons sport! et regardons ce que donnent les résultats si je modélise Popp par une fonction affine valant Pa au point A et Pb au point B …

Bon la formule est un peu grasse mais le calcul se déroule facilement. Je vous ai mis le résultat et la modélisation en onglet caché dans le fichier Excel joint en ressource. Sans surprise, le résultat est une atténuation du « puits d’isolement » mais on pourrait s’amuser à raffiner encore un peu plus le modèle avec un Popp suivant une loi normale…
Pour ma part, je m’arrête là, il est tard et il est temps pour moi d’aller faire un petit tour expérimental (ou pas).

Le paradoxe des anniversaires – le prix de l’unicité

Jérôme Malot — Sun, 28 Jun 2015 20:09:59 +0000

Vous êtes unique!

Le constat est étonnant et pourtant vous ne venez pas de vous étouffer de surprise. Et pour cause, notre unicité est acquise, un cadeau légitime dont on évalue pas toujours la valeur. Mais si l’extraordinaire complexité de notre génome a fait de nous des êtres sans pareil, saviez-vous qu’en mathématiques et en cryptographie, l’unicité est un caractère qui se paie le prix fort.
Facebook, prenons Facebook. Depuis que l’horloge du bon copain vous rappelle quotidiennement l’anniversaire de chacun de vos contacts, vous avez du remarquer que (oh miracle) certains d’eux étaient nés le même jour.
« Ouais badaud, en même temps avec 400 amis FB et 365 jours dans l’année… »
Très juste… maintenant laissez moi vous poser une question.

Vous arrivez ce matin au bureau, 20 personnes sont assises dans l’open-space. Quelle est la probabilité que deux personnes soient nées le même jour?

Par « nées le même jour », j’entends « aient leur anniversaire le même jour ». Et bien les incrédules pourront afficher le calcul ci-dessous, pour les autres, sachez que la probabilité avoisine 1 chance sur 2.
Plus surprenant encore, si vous comptez 50 personnes sur l’ensemble de votre étage, la probabilité que deux personnes soient nées le même jour est de 97%.
Enfin, si votre étage contient plus de 96 personnes… apprenez que vous avez plus de chance de mourir écrasé par un astéroïde que de ne pas trouver deux personnes nées le même jour… [Source pour la probabilité de mourir écrasé par un astéroïde: Nature].
Ces résultats assez contre-intuitifs sont bien connus des probabilistes et portent le joli nom de ‘paradoxe des anniversaires’.

Afficher la démonstration (niveau lycée)Cacher la démonstration

Supposons que votre open-space contienne N personnes. Je vous propose de calculer la probabilité pour qu’aucuns d’entre eux n’aient leur anniversaire le même jour.
On supposera qu’une année contient 365 jours et on négligera les années bissextiles.

Ci-dessous un petit récapitulatif numérique des probabilités en fonction du nombre de personnes dans votre bureau:

Application en cryptographie – sécurisation du WIFI

Le cryptage de votre WIFI: vous y avez forcément été sensibilisés, à genoux, recopiant docilement l’interminable clé WEP ou WPA de votre box Internet, priant le Dieu ADSL de ne pas vous être trompés d’un caractère. Et bien sachez que ce qui a été dit plus haut s’applique particulièrement en cryptographie et au fonctionnement de vos connexions WIFI.
Sans rentrer trop dans les détails, sachez que le mode de chiffrage des connexions WIFI a beaucoup évolué au cours de ces 10 dernières années, passant du simple protocole WEP au WPA pour aujourd’hui se concentrer sur le WPA2.
Le protocole WEP en particulier utilise un algorithme de chiffrage appelé RC4 pour coder les messages échangés avec votre Box. L’une des règles fondamentales en sécurité informatique et plus spécifiquement lors de l’utilisation de tels algorithmes est de s’assurer que deux messages identiques ne donnent pas lieu à la même sortie (au même message crypté). Dès lors, il n’est donc pas possible de chiffrer tous les messages avec la seule clé WEP (récupérée sur votre Box).
L’astuce utilisée est donc de constamment modifier la clé de cryptage en rajoutant aléatoirement 24 bits (3 octets) à votre clé WEP. Ces 24 bits sont appelés « vecteur d’initialisation ». Vous joignez ensuite ce vecteur d’initialisation au message pour que votre interlocuteur (ici votre box) puisse déchiffrer à son tour le message.
Le problème c’est qu’avec 24 bits, le vecteur d’initialisation ne peut prendre que 16 millions de valeurs différentes… C’est effectivement plus que 365… Mais le paradoxe des anniversaires s’applique une fois encore de telle sorte qu’après 12 000 messages échangés (quota atteint en quelques heures à peine), il n’y a déjà plus qu’une chance sur deux qu’aucun message n’ait été chiffré avec une clé déjà utilisée.
Ceci explique, entre autre, que depuis 2004 la majorité des connexions WIFI ont abandonné le WEP pour le WPA (qui utilise encore l’algorithme de chiffrement RC4 mais renforce l’alternance de la clé temporaire) puis le WPA2 (qui utilise un nouvel algorithme de chiffrement: AES).

Voilà qui devrait vous amener à apprécier encore d’avantage ce don précieux dont vous ne pesiez peut-être pas tout à fait le prix.

Références:
http://www.bibmath.net/crypto/index.php?action=affiche&quoi=chasseur/anniversaire
http://www.crack-wifi.com/forum/topic-7363-explications-plus-poussees-sur-le-decryptage-de-cle-wep.html
https://repo.zenk-security.com/Protocoles_reseaux_securisation/Les%20mecanismes%20de%20securite%20du%20Wireless%20LAN.pdf
http://pro.01net.com/editorial/213994/comment-wpa-securise-les-reseaux-radio-802-11/

Petit bêtisier scientifique – Kelvin, l’âge de la Terre et le dentifrice au radium [3/7]

Jérôme Malot — Thu, 18 Jun 2015 16:38:35 +0000

Une quille qui tombe peut parfois en entraîner une autre, et s’il en était de même avec la raison ?
Célèbre pour ses conclusions sur notre comportement quotidien, l’expérience de Asch est une jolie illustration de ce que j’appelle personnellement un phénomène d’agrégation d’erreurs.
Et si je vous parle de ça aujourd’hui, c’est qu’il y a un peu plus d’un siècle, un groupe de scientifiques a réussi l’exploit de démontrer indépendamment, et par trois méthodes différentes, un résultat faux.
Aujourd’hui je vais vous parler de l’âge de la Terre.

L’erreur initiale – la première quille

A l’origine de cette erreur, il y a un anglais. Un homme qui dispose alors d’une renommée internationale, cet homme s’appelle William Thomson mais il est mieux connu sous le nom de Lord Kelvin. Bien qu’à l’époque certains s’accordent à dire que l’âge de la Terre est infini (théorie signée Aristote bien sûr), Kelvin va avoir l’immense mérite de proposer une méthodologie scientifique moderne pour évaluer l’âge de la Terre. La démonstration du Lord est très sexy puisqu’elle fait appel à une théorie alors toute jeune mais maintes fois vérifiées : l’équation de la chaleur de Fourier.
Le calcul de Kelvin consiste simplement à considérer la Terre comme une sphère chauffée initialement à 3900 °C (température de fusion des roches) puis refroidit très rapidement par la douce fraîcheur de notre galaxie. L’équation de la chaleur de Fourier prédit alors comment la chaleur de la sphère va évoluer en tous points pour s’uniformiser dans le temps. Kelvin va alors simplement retourner cette équation et se servir de la variation de température qu’il observe entre la surface de la Terre et un point situé à 100 m de profondeur pour déduire la durée écoulée depuis le début du refroidissement de la Terre.
Ces calculs vont d’abord lui permettre d’établir en 1863 un âge de la Terre comprit entre 20 et 400 millions d’années (la belle fourchette me direz-vous) puis il précisera un peu plus tard son estimation à 20-40 millions d’années.

Réticences géologiques et début du match Kelvin – Darwin

Comme dirait Pignon, c’est bougrement intelligent… mais ça va quand même un peu gêner les géologues de l’époque. Il faut dire qu’avant Kelvin, ces messieurs estimaient l’âge de la Terre grâce à l’érosion et la stratification (dépôts successifs de matériaux). La méthode alors employée reposait sur une simple règle de trois : s’il faut cent ans pour déposer un millimètre de sédiment et que la couche mesure un mètre, alors mon temps de dépôt est de 100 000 ans… Comprenez que les autres scientifiques de l’époque aient été aussi enthousiasmés par la méthode de Kelvin.
Le problème c’est que les 40 millions d’années de Kelvin ne laissent pas assez de temps à la Terre pour expliquer tous ces dépôts. Autre problème relevé par Charles Darwin, l’évolution des espèces a nécessité bien plus que 40 millions d’années… peut être de l’ordre des milliards, Kelvin doit avoir tort !

Pour l’anecdote : Kelvin et Darwin ne s’aimaient pas beaucoup mais la mort est facétieuse et conciliante puisque les deux hommes sont actuellement enterrés à quelques pas l’un de l’autre dans la nef de l’abbaye de Westminster.

On enfonce le clou – Deuxième et troisième quilles

Le fait est qu’à cette époque la majorité de la communauté scientifique se range derrière Kelvin. L’église, elle aussi, y trouve un moyen de discréditer Darwin et sa théorie de l’évolution.
Pour enfoncer le clou, deux hommes vont, coup sur coup, redémontrer les résultats de Kelvin par deux méthodes différentes.
Le premier s’appelle John Jolly. Jolly va s’intéresser à un sujet qui avait préalablement occupé un certain Edmund Halley (oui oui, celui de la comète) : la salinité des océans. En effet et de façon assez paradoxale, la salinité des océans est apportée par l’eau douce des rivières. Lesquelles rivières récupèrent le sel des roches qu’elles érodent. En estimant la masse de sodium actuellement contenu dans les océans et le débit actuel des rivières, Jolly estime l’âge de la formation des océans à 90 millions d’années (ce qui appuie d’avantage la thèse de Kelvin que celle de Darwin).

Le second homme s’appelle George Darwin, le fils même de Charles (si ça ce n’est pas de l’ingratitude). Georges, la tête en l’air, s’intéresse à la lune. En effet, à cette époque déjà , nous savons que la lune s’écarte progressivement de la Terre. En étudiant la vitesse d’éloignement, on peut donc légitiment déduire la date de séparation de la lune et de la Terre (qui est actuellement une des thèses de création de la lune). Les calculs de Georges lui permettre d’obtenir un âge de 56 millions d’années confortant encore le point de vue de Kelvin. Et hop !

La solution de l’énigme – Découverte de la radioactivité

Pourtant, alors que Georges Darwin et John Jolly publient leurs travaux, quelque chose d’énorme se prépare. En 1902, Ernest Rutherford et Frederick Soddy vont établir la notion de période d’un élément radioactif. La découverte est capitale puisque l’on comprend pour la première fois que le temps qu’il faut pour que l’activité d’un élément radioactif diminue de moitié est une constante et ne dépend pas de la quantité initiale de noyaux dans l’échantillon étudié. Bingo ! Voilà un chronomètre qui tourne depuis la nuit des temps et qui va nous permettre de dater précisément l’âge de la Terre.
Pourtant, il faudra attendre 1953, pour déterminer avec précision l’âge de la Terre à 4,55 milliards d’années. Les premiers calculs s’appuieront en effet trop souvent sur des hypothèses approximatives, et le phénomène même de radioactivité reste un temps très mal compris : on assiste d’ailleurs à cette époque à un phénomène de « radiofolie » qui peut aujourd’hui nous sembler tout droit sorti d’un mauvais Spielberg. Les grandes marques vantent alors les propriétés radioactives de leur savon, dentifrice, eau, soda,… n’en déplaise à GreenPeace, disons-le, le radium avait la côte à l’époque !

Dentifrice au radium, eau minérale et pommade radioactive, en 1920, les publicités font la part belle aux produits radioactifs

La vraie erreur de Kelvin – Quand un solide se prend pour un liquide

On entend souvent que l’erreur de Kelvin réside dans le fait qu’il n’ait pas intégré dans ses calculs la chaleur dégagée par la radioactivité sous la surface de la Terre. On lui pardonne aussi facilement puisque la radioactivité n’avait pas été découverte au moment où Kelvin élabore sa théorie.
Pourtant la véritable erreur de Kelvin n’est pas là et pouvait bel et bien être évitée car le physicien s’est tout bonnement trompé d’équation. En effet, vous avez surement déjà remarqué que la dinde dans votre four met plus de temps à cuire que le bouillon, dans lequel elle baigne, à chauffer. Et cela est normal puisque l’uniformisation de la chaleur au sein d’un liquide se fait beaucoup plus rapidement qu’au sein d’un solide du fait de mouvements de matière (appelé convection) existant seulement au sein des fluides.
Kelvin, en appliquant l’équation de la chaleur, a considéré la Terre comme un solide, or, sur les échelles de temps considérées, la Terre se comporte d’avantage comme un liquide. Kelvin aurait donc dû prendre en compte la convection en utilisant l’équation de Navier-Stokes.
En prenant en compte la convection, Kelvin aurait alors trouvé un âge avoisinant 2 milliards d’années (et ce, sans prendre en compte la radioactivité).

Conclusion

Finalement, il est assez bluffant de voir comment la notoriété d’un seul homme a pu conduire à une telle erreur (on parle d’un facteur 100 quand même). Joly dans ses calculs avait oublié d’intégrer les processus de perte de sel (dépositions, vents,…), quant à Georges Darwin il s’agissait sans doute d’une erreur de mesure.

Et pourtant, certains avaient anticipé le coup, John Perry (élève et disciple de Kelvin) faisait part à son maître ,dès 1895, de ses doutes concernant l’utilisation de l’équation de la chaleur… mais le fait est que la conviction d’un homme brave parfois la convection des autres…

Références:
Très bonne publication sur le sujet:
http://www.cnrs.fr/publications/imagesdelaphysique/couv-PDF/IdP2011/03_Krivine.pdf
Article de la Recherche qui fait le focus sur la partie radioactivité:
http://www.larecherche.fr/savoirs/autre/radioactivite-soleil-terre-mort-kelvin-01-10-1996-89381
Autres:
http://www.ens-lyon.fr/DSM/SDMsite/M2/stages_M2/Ehlinger2014.pdf
http://courses.washington.edu/ess408/KelvinPerry2007.pdf

L’hôtel de Hilbert – Y a -t-il quelque chose de plus grand que l’infini ?

Jérôme Malot — Tue, 02 Jun 2015 09:05:04 +0000

« Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé».
Alors, c’est sûr que jeté comme ça, ça claque un peu moins qu’un tube de Polnareff. Mais ce message de soutien adressé par Hilbert au très décrié Georg Cantor sent bon la topologie et la lemniscate [1], et ça on aime (sisi vous allez voir)! Aujourd’hui, nous allons comprendre ensemble pourquoi Cantor n’avait pas beaucoup de copains en 1875 et en quoi l’homme a révolutionné notre perception du monde et de l’infini.

Introduction sommaire à ce qui n’est pas fini

Il existe deux façon de définir une notion. La première est de décrire ce qu’elle est, la seconde, bien sûr, est de décrire ce qu’elle n’est pas, et c’est de cette manière qu’est introduit le concept d’infini (à l’instar d’autres notions comme « indéfini » ou « incompréhensible »). Pourtant ce mot hétérologique [2] ,souvent retrouvé en philosophie, métaphysique ou théologie, n’a pas toujours trouvé son pendant mathématique. Descartes niait d’ailleurs l’existence d’un infini mathématique, lui reprochant notamment de décrire une vérité inaccessible à nos pauvres esprits finis.
Et, logiquement, lorsque Cantor créa sa théorie autour de l’infini mathématique, il s’attaqua vite aux conclusions cartésiennes, leurs préférant l’analyse de Spinoza pour qui il est absurde de concevoir l’entendement humain comme quelque chose de fini.
Finalement, quand Georg Cantor débarque en 1875 avec une théorie des ensembles toute neuve intégrant l’infini comme une entité mathématique propre, on ne l’accueille pas avec des cotillons et des langues de belle–mère.
Et pourtant… la théorie des ensembles de Cantor va marquer définitivement notre entrée dans l’ère des mathématiques modernes et avec elle va venir la conviction que tous les infinis ne se valent pas, certains étant manifestement plus grands que d’autres.

Quand quelques années plus tard, David Hilbert tentera d’illustrer en conférence la théorie de Cantor, on raconte qu’il utilisa l’exemple que je m’apprête à vous présenter.

Bienvenue dans l’hôtel de Hilbert.

Unique en son genre, notre hôtel propose une infinité de chambres, toutes identiques et numérotées de 1 jusqu’à l’infini. [Chambre 1, Chambre 2, …, Chambre 2806, … etc…]

Arrivée de clients à l’hôtel – Additionner et multiplier l’infini

Le premier soir un nouveau client arrive à l’hôtel et semble déçu à la lecture de la note d’information affichée au dessus du comptoir.

Note d’information : Nous informons notre aimable clientèle que, victime de son succès, toutes les chambres de l’hôtel sont occupées pour la nuit.

Pourtant le gérant de l’hôtel se veut rassurant et propose vite une solution au nouvel arrivant. Il prend alors son microphone et s’adresse à l’ensemble de l’hôtel par le biais de hauts-parleurs.
Il demande alors à tous ses clients de bien vouloir changer de chambre pour se déplacer vers la chambre avec un numéro immédiatement supérieur à la leur, de sorte que le locataire de la chambre n aille dans la chambre n+1.
Ainsi, à la fin de l’opération la chambre 1 est disponible et peut accueillir notre nouveau client.

Plus tard dans la soirée, ce n’est plus un client qui arrive au comptoir mais un bus avec une infinité de clients numérotés C1, C2, C3,… jusqu’à l’infini.
Pourtant, une fois encore, le gérant reste calme. Avec le même flegme, il prend alors son microphone et demande à ses clients de changer une nouvelle fois de chambre. Chaque client devant se rendre dans la chambre ayant un numéro deux fois supérieur à la sienne. De sorte que le client de la chambre n se trouve alors déplacé dans la chambre 2n.
L’ensemble des chambres impaires se retrouvent alors libérées pouvant alors accueillir les nouveaux arrivants de telle sorte que l’arrivant Cn aille dans la chambre 2n-1.

Encore plus fort…
Le lendemain, tous les clients ont quitté l’hôtel. Mais le soir venu, ce n’est pas un bus qui arrive mais une infinité de bus (numérotés B1, B2, B3,…) contenant chacun une infinité de passagers (numérotés Ck-1, Ck-2,Ck-3,… avec k le numéro du bus dans lequel le client se trouve assis)
Et devinez quoi? Une fois encore le gérant de l’hôtel, placide, semble avoir la solution pour héberger tout ce petit monde.
Il demande alors au client C1-1(premier client du premier bus) d’aller dans la chambre 1, puis aux clients C1-2 et C2-1 d’aller respectivement dans les chambres 2 et 3.
En fait, il demande à chaque client Ck-j de se diriger dans la chambre numéro :

A travers ces exemples, l’hôtel de Hilbert nous montre que deux ensembles tels que l’un est strictement inclus dans l’autre peuvent toutefois avoir un même nombre d’éléments (en mathématiques on dit qu’ils sont alors équipotents).
Et ça, ça a pas mal troublé les mathématiciens de l’époque car cette proposition est complétement fausse pour les ensembles finis… et oui, si votre hôtel (qui n’est pas un hôtel avec un nombre infini de chambres) a toutes ses chambres d’occupées… et bien c’est marre, il ne pourra pas vous accueillir (voir le principe des tiroirs de Dirichlet [3]).

Arrivée d’un bus un peu spécial – Tous les infinis ne se valent pas

Enfin le dernier soir, c’est un bus un peu particulier qui se présente devant l’hôtel. Le bus contient bien une infinité de passagers mais ces derniers ne sont pas disposés comme les bus précédents. En effet, les sièges semblent infiniment resserrés et au lieu d’être numérotés par des nombres entiers (1,2,3,…), les places sont numérotées par tous les nombres réels existants entre 0 et 1 (on y retrouve entre autres 0; 1; 0,5; √2/2; $π/5; 0,9999999; etc\dots$ ).

Et pour la première fois depuis son ouverture, le gérant de l’hôtel est nerveux. Après quelques minutes passées à se mordiller la lèvre inférieure, il décide, contrarié, de monter à bord du bus pour annoncer à ses passagers qu’il ne pourra pas tous les accueillir à l’hôtel.

Explication, pourquoi notre gérant n’est-il pas capable d’accueillir ce bus de clients?

Pour montrer que, n’en déplaise à Mlle Bille-en-tête, l’hôtel de Hilbert ne peut pas accueillir ce bus magique, nous allons utiliser un classique des mathématiques : le raisonnement par l’absurde. Nous allons voir que si l’hôtel pouvait accueillir tous les passagers de ce bus, cela nous mènerait à un non-sens.
En effet, imaginons que l’hôtel accueille tous les passagers, nous aurions par exemple:

Chambre 1: Passager 0,45674329324….
Chambre 2: Passager 0,13778234432….
Chambre 3: Passager 0,34254743534….
Chambre 4: Passager 0,00988328451….
….

Prenons maintenant le passager possédant le numéro construit de sorte que sa nième décimale soit toujours égale à la nème décimale du locataire de la chambre n.
Dans notre exemple, son numéro commencerait par 0,4328…

Chambre 1: Passager 0,45674329324….
Chambre 2: Passager 0,13778234432….
Chambre 3: Passager 0,34254743534….
Chambre 4: Passager 0,00988328451….
….

Maintenant prenons chaque décimale de ce nombre et ajoutons lui +1, de sorte que notre numéro se transforme de cette manière sur toutes ses décimales:
0,4329 → 0,5430…
Alors, nous pouvons affirmer que le client correspondant à ce nouveau nombre n’est pas logé à l’hôtel car si il l’était dans une chambre n, sa nième décimale sera différente de celle que nous avons du recenser lorsque nous avons fait le tour des chambres quelques lignes plus haut.

Conclusion, la puissance du continu

Avec l’arrivée du dernier bus, Cantor nous a montré (par l’intermédiaire de l’exemple de Hilbert) que l’infini des nombres réels est ostensiblement plus grand que l’infini des nombres entiers.
Personnellement, cette découverte sur les différences de nature entre infinis continue de me troubler.
Et la question qui doit maintenant vous brûler les lèvres sinon les doigts est: « entre l’infini des réels et l’infini des nombres entiers, il existerait pas un ou des infini(s) intermédiaire(s)? »
Et bien quand, en 1900, au congrès international des mathématiques, David Hilbert présenta sa fameuse liste des 23 problèmes mathématiques irrésolus, la question que vous venez de vous poser était tout en haut de la page: en numéro 1.
Cette question, appelée hypothèse du continu, a finalement été enterrée en 1963 par Paul Cohen (Médaille Fields 1966) qui démontra que le problème était indécidable: c’est à dire que les hypothèses (axiomes) de la théorie des ensembles ne permettaient pas de répondre à cette question. Pour simplifier, l’hypothèse du continu est indécidable au même titre que l‘est la question « devez-vous prendre un parapluie les jours où votre voisin ne porte pas de cravate? ».

[1] Souvent utilisé pour symboliser l’infini, la lemniscate (de Bernouilli) est une courbe plane en forme de huit couché : … Et oui, sur BlablaSciences on aime aussi apprendre des mots !
[2] L’hétérologisme est la propriété d’une phrase ou d’un mot à ne pas se décrire lui-même (le mot infini n’est pas infini), à l’inverse, s’il correspond à sa définition, il est alors dit autologique (ex: le mot « court » est court).
Cette définition a ça d’amusant qu’elle contient un paradoxe en son sein. En effet, le mot « hétérologique » est hétérologique si et seulement s’il ne l’est pas.
[3] Le principe des tiroirs affirme que si n chaussettes occupent m tiroirs, et si n > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d’une chaussette. Les anglais préfèrent eux parler de pigeons (chacun son truc) et évoque donc le pigeonhole principle.

Références:
Pour la partie philo:
http://www.jbjv.com/La-prudence-de-Descartes-face-a-la.html
http://www.spinozaetnous.org/ftopic-255-20.html
Une vidéo très bien faite sur le sujet:
https://www.youtube.com/watch?v=N_cDA6tF-40

Petit bêtisier scientifique – La phlogistique et pourquoi les corps brûlent [2/7]

Jérôme Malot — Thu, 28 May 2015 08:56:52 +0000

Gaston Bachelard disait que la vérité est presque toujours « une erreur rectifiée » et, modestement, j’adhère… Du moins, je pense que l’erreur, si elle n’est pas toujours nécessaire, s’intègre au moins naturellement au processus de qualification de « l’évident ».
Voilà mon sarcasme nuancé en bloc par anticipation, nous allons donc pouvoir maintenant nous amuser ensemble de ce que l’observation et la déduction scientifique ont pu accoucher de plus saugrenu.
Dans ce petit Best Of (très personnel) des plus ‘belles’ erreurs scientifiques, nous allons voir en 7 parties comment l’apprentissage et la déduction ont pu parfois malmener les plus grands esprits de ce monde.
Une façon ludique de s’intéresser au façonnage de la science à travers l’histoire.

Aujourd’hui, partie 2: La phlogistique et pourquoi les corps brûlent.

La science du XVIIIème siècle – Contexte

Dans le précédent billet du petit bêtisier scientifique, nous nous étions arrêtés en 1585 et aux balbutiements de la physique moderne. Grâce à Galilée, nous comprenions pour la première fois qu’étudier la vitesse d’un objet ne permet pas de déterminer si des forces lui sont appliquées.
A peine une génération plus tard, Newton va transformer l’essai avec la conclusion suivante:
Si la vitesse d’un corps ne permet pas de déterminer les forces qu’il subit, la variation de sa vitesse, quant à elle, le permet.

figure 1 – principe fondamental de la dynamique. La somme des forces exercées sur un objet est proportionnelle à son accélération (variation de sa vitesse dans le temps)

Newton va alors formaliser les équations de la mécanique et poser, avec Leibniz, les bases du calcul différentiel et intégral.
Les deux siècles qui nous séparent du sujet d’aujourd’hui vont alors être riches en découvertes.
Torricelli (l’élève de Galilée) va inventer le baromètre ce qui va le conduire à mettre en évidence le premier vide permanent et lui permettre de vérifier la théorie de son maître sur la chute des corps. Blaise Pascal va significativement faire avancer la connaissance scientifique en probabilité et mécanique des fluides. L’électromagnétisme va doucement émerger lui aussi grâce à Coulomb et Volta (inventeur de la pile électrique). Enfin, la biologie va se développer princièrement au 18ème siècle grâce aux travaux de Buffon et Lamarck.
A cette époque, on assiste aussi progressivement à la mort de l’alchimie et c’est dans ce contexte que s’inscrit l’erreur dont je vais vous parler aujourd’hui.

La théorie phlogistique

A l’origine de la phlogistique se trouve une question simple encore non résolue à la fin du 17ème siècle : « pourquoi certains corps brûlent et d’autres non? ». Il faut dire que le moyen-âge et l’inquisition sont passés par là, et que l’Homme est manifestement passé maître dans l’art de faire brûler des trucs.
Deux scientifiques allemands (J.J Becher puis G.E Stahl) vont alors successivement s’intéresser à la question et élaborer une théorie basée sur un fait observable : un corps semble perdre de la masse en brûlant.
La théorie établit alors que toute matière contient du phlogiston, une substance incolore et inodore qui s’échappe lors de la combustion pour peu qu’il dispose d’un endroit où s’échapper (par exemple : l’air). Plus une matière contient du phlogiston, plus elle est inflammable. A ce titre, le charbon et le dihydrogène contiennent du phlogiston presque pur.
En fait, l’idée de matérialiser la chaleur et notamment le feu n’est pas nouvelle. Aristote, 2 millénaires plus tôt, déclarait avec autorité que toute chose sur terre était composée de quatre éléments: l’eau, la terre, l’air et le feu… Comme quoi, quand un scientifique se trompe quelque part dans le monde, Aristote n’est jamais vraiment loin.

Les détracteurs de la théorie

La théorie phlogistique va séduire de nombreux intellectuels de l’époque. D’ailleurs, lorsqu’en 1774, Joseph Priestley découvre l’oxygène en faisant chauffer de l’oxyde de mercure dans un tube à essai, il le baptise simplement « air déphlogistiqué ».
Pourtant, un détail préoccupe certains membres de la communauté scientifique et notamment un français nommé Antoine Lavoisier. Le chimiste réprouve particulièrement l’observation fruste selon laquelle tout corps perd de la masse en brûlant.
En effet, déjà à l’époque, les métallurgistes savent que certains métaux (comme le plomb) lorsqu’ils sont chauffés à l’air, forment une chaux qui est plus lourde que le métal initial. Le métal ayant pourtant perdu son phlogiston, comment expliquer qu’il s’alourdisse ?
Cette contradiction manifeste ne suffit pourtant pas à mettre à bas la théorie phlogistique qui reste encore la seule à tenter d’expliquer les phénomènes de combustion.
Lavoisier décide alors d’élaborer sa propre théorie et pour cela il va s’appuyer sur les travaux d’un phlogisticien (Joseph Priestley) qui a notamment permis de mettre en évidence l’existence de l’oxygène.
Et le coup de génie de Lavoisier va consister à ne plus voir la combustion comme la perte d’une substance mais, au contraire, comme la création d’un corps par combinaison d’un combustible avec un gaz: l’oxygène.

Si le gain de masse de certains métaux transformés en chaux s’explique alors, la théorie de Lavoisier permet également de justifier la perte de masse du carbone qui, lors de sa combustion, réagit avec l’oxygène pour former un gaz : le dioxyde de carbone.
L’idée de composer et décomposer des éléments comme l’air ou l’eau est absolument inédite, et la théorie de Lavoisier va donner naissance à ce que les historiens appellent: la « Révolution chimique ».

Quand une erreur en remplace une autre

Pourtant, la nouvelle théorie de Lavoisier ne fait pas complètement l’unanimité. Certains lui reprochent entre autre la façon dont il justifie le dégagement de chaleur.
En effet, quand il décrit sa théorie dans son Traité élémentaire de chimie (1787), Lavoisier explique le dégagement de chaleur accompagnant la combustion d’un corps en faisant appel, lui aussi, à une substance magique : « le calorique » (substance issue d’une nouvelle théorie portée par l’écossais Joseph Black).
Souvent considéré comme un ersatz du phlogiston par ses détracteurs, le calorique est décrit comme un fluide de masse presque nulle imprégnant les corps et notamment capable de faire varier le volume d’un objet lors du passage de son état solide à liquide ou liquide à gaz.

La fin de la phlogistique et du calorique

Pour mettre fin à plus d’un siècle de méprise, il faudra compter sur le travail de deux hommes.
Le premier: Benjamin Thompson (à ne pas confondre avec J.J Thomson: prix Nobel de Physique 1906) publie ses travaux en 1804 sous le titre « Mémoire sur la chaleur » avec la ferme intention d’infliger au calorique ce que Lavoisier a précédemment fait au phlogiston. Malheureusement pour lui, l’ouvrage sera décrié par la communauté scientifique qui lui reprochera son manque de rigueur.
Pour l’anecdote, Benjamin Thomson, alias Lord Rumford, faute d’avoir durablement démoli la théorie de Lavoisier, épousera quand même sa veuve en 1805 et, ironie parisienne, une rue perpendiculaire à la rue Lavoisier sera nommée « rue Rumford ». La voie finira par être supprimée en 1854 lors du percement du boulevard Malesherbes.
Le coup de grâce sera finalement porté en 1840 par un brasseur de bière, un autodidacte britannique du nom de James Joule. Joule s’est particulièrement intéressé à la conversion du travail mécanique en chaleur, et ses résultats vont notamment permettre de conclure quant à la vraie nature de la chaleur. Pour la première fois, la chaleur est perçue, au même titre que le travail, comme une forme d’énergie et non un fluide.

Références:
http://www.acs.org/content/acs/en/education/whatischemistry/landmarks/lavoisier.html
http://histoires-de-sciences.over-blog.fr/article-31362064.html
http://www.larecherche.fr/idees/histoire-science/calorique-ou-erreur-lavoisier-01-12-2013-165001
Remarque:
J’ai trouvé assez amusant, qu’à ce jour, il ne soit pas fait explicitement référence à la théorie du calorique sur la page Wikipedia française d’Antoine Lavoisier. Pourtant, le chimiste y faisait clairement appel dans son traité élémentaire de chimie:

« Nous savons, en général, que tous les corps de la nature sont plongés dans le calorique, qu’ils en sont environnés, pénétrés de toutes parts, et qu’il remplit tous les intervalles que laissent entre elles leurs molécules : que, dans certains cas le calorique se fixe dans les corps, de manière même à constituer leurs parties solides; mais que le plus souvent il en écarte les molécules, il exerce sur elles une force répulsive, et que c’est de son action ou de son accumulation plus ou moins grande que dépend le passage des corps de l’état solide à l’état liquide, de l’état liquide à l’état aériforme. » – Antoine Laurent de Lavoisier, Traité élémentaire de chimie

Petit bêtisier scientifique – Le marteau et la plume [1/7]

Jérôme Malot — Wed, 20 May 2015 08:48:57 +0000

Gaston Bachelard disait que la vérité est presque toujours « une erreur rectifiée » et, modestement, j’adhère… Du moins, je pense que l’erreur, si elle n’est pas toujours nécessaire, s’intègre au moins naturellement au processus de qualification de « l’évident ».
Voilà mon sarcasme nuancé en bloc par anticipation, nous allons donc pouvoir maintenant nous amuser ensemble de ce que l’observation et la déduction scientifique ont pu accoucher de plus saugrenu.
Dans ce petit Best Of (très personnel) des plus ‘belles’ erreurs scientifiques, nous allons voir en 7 parties comment l’apprentissage et la déduction ont pu parfois malmener les plus grands esprits de ce monde.
Une façon ludique de s’intéresser au façonnage de la science à travers l’histoire.

Aujourd’hui, partie 1: Aristote et sa théorie sur la chute des corps.

Le marteau tombe-t-il plus vite que la plume ?

Aristote, c’est un peu le Renaud Lavillenie de la méprise scientifique, il a mis la barre très haut et très tôt. Et si mon cœur avait su mieux flatter ma raison, j’aurais même pu faire un billet uniquement dédié aux boulettes erreurs scientifiques du philosophe tant l’homme a été généreux (génération spontanée, calcul du diamètre de la terre, thèse du géocentrisme,…).
Toutefois, de toutes ses bévues, j’ai choisi de ne garder que sa théorie sur la chute des corps car elle symbolise à mon sens, à elle seule, la rupture entre physique antique et physique moderne.
Dans ses écrits, Aristote explique qu’un corps tombe d’autant plus vite qu’il est lourd, la pomme lourde tombe donc plus vite que la pomme légère…
Et là, vous plongez en plein cœur de la méthode aristotélicienne… car en effet, les objets lourds chutent légèrement plus vite que les corps légers … dans l’air.
« Dans l’air », un détail insignifiant qui aurait pu faire passer la phrase d’Aristote du statut de « loi erronée » à celui « d’observation sommaire indéniable ».
Le procès peut vous paraître sévère, mais il faut bien comprendre que cette faute d’interprétation va nous priver de toute explication sur le mouvement des astres pendant presque 2000 ans…
Et il faudra attendre Galilée pour moucher l’antique philosophe avec une simple expérience de la pensée.

L’expérience de pensée de Galilée

Galilée dit:
Très bien, si un corps lourd chute plus vite qu’un corps léger, faisons l’expérience suivante: attachons à l’aide d’une ficelle une pierre lourde et une pomme légère, que nous dit alors la loi d’Aristote?

Le système {pierre+pomme} est plus lourd que le système {pierre seule}. Notre couple {pierre+pomme} chutera donc plus rapidement que la pierre seule.
Toutefois, nous pouvons également tenir le raisonnement suivant: la pomme, plus légère, chute moins vite que la pierre. Durant la chute de notre système, la ficelle va donc se tendre, et la pomme plus légère ralentira la chute de la pierre par un effet parachute. Notre couple {pierre+pomme} chutera donc plus lentement que la pierre seule.

Et Galilée, par cette simple expérience de la pensée, démontre que la loi d’Aristote mène à des paradoxes insurmontables.
Pour résoudre ce problème, Galilée reprend alors tout de zéro et introduit une nouvelle force: les frottements de l’air.
Le mathématicien italien explique alors que les corps en chute libre sont bien soumis à la gravité mais que cette dernière agit indifféremment sur les corps lourds et légers, il poursuit alors son raisonnement et postule donc que les frottements de l’air ont des effets cinématiques moins importants sur les corps lourds.
Comment justifie-t-il son hypothèse ? (N’oubliez pas, Newton n’est pas encore passé par là et les lois mécaniques n’ont pas encore été formalisées)
Et bien, sa justification est encore une fois une expérience de pensée… il observe que dans l’eau, la différence de vitesse entre les objets lourds et légers en chute libre est plus importante que dans l’air.
En fait, il constate que plus le milieu offre une résistance de frottement importante, plus les objets lourds chutent plus rapidement que les objets légers.
Par un passage à la limite, s’appuyant sur une relative continuité de la nature, Galilée imagine alors que deux corps, quelque soient leurs masses, chutent à la même vitesse dans le vide.
Hypothèse validée expérimentalement après sa mort par son élève Torricelli dans un tube sous vide, puis un peu plus tard sur la lune par David Scott (voir vidéo plus haut).

Naissance de la science moderne

Ce qui va éclore ensuite de cette expérience de pensée dépasse sans doute l’individu… mais à partir de cette époque naît réellement la science moderne.
L’Homme prend alors réellement conscience de son incapacité à extraire une loi physique à partir de la seule observation d’un phénomène.
Dans une lettre à son ami Maurice Solovine, Einstein résumera sa vision de la démarche scientifique moderne dans un petit dessin.

Einstein y explique la démarche empirique moderne comme un raisonnement déductif s’appuyant non sur l’observation mais sur une série d’axiomes très généraux qui, s’ils ne sont pas forcément déduits de l’observation (au sens Newtonien), se doivent toutefois de rester compatibles avec elle.

Références:
Qu’est ce qu’une « expérience de pensée »? – La conversation scientifique par Etienne Klein – France Culture
Discours concernant deux sciences nouvelles – Traduction de Maurice Clavelin
http://www.daniel-huilier.fr/Enseignement/Histoire_Sciences/extraitDiscoursGalilee.pdf

Crédits photo et vidéo:
Vidéo David Scott :
http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/alsj/a15/video15.html#closeout3
Dessin Einstein:
http://blogs.scientificamerican.com/

[Enigme] Les trois colosses

Jérôme Malot — Sun, 17 May 2015 08:35:12 +0000

Énoncé:

De Monstrorum Caussis, Natura, et Differentiis – Liceti, Fortuino

Vous voilà aux portes du paradis. Ultime rempart avant le repos éternel, trois colosses se présentent à vous. Sans que vous ne sachiez qui est qui, on vous informe que l’un d’eux se prénomme « Sincérité » et dit toujours la vérité, un autre se prénomme « Tromperie » et dit toujours le contraire de la vérité et enfin le dernier se nomme « Hasard » et répond aléatoirement aux questions qu’on lui pose sans se soucier du vrai ou du faux.
Pour pouvoir passer la porte vers ce monde meilleur, il va vous falloir deviner qui est qui…
Ultimes contraintes dans votre mission:

vous ne pouvez poser que trois questions, chaque question ne pouvant être adressée qu’à un seul colosse (mais vous pouvez poser plusieurs questions au même colosse);
les colosses vous comprennent mais ne parlent pas votre langue. Ils ne répondent que par « Plick » ou « Plock » sans que vous ne sachiez lequel correspond à « oui » et lequel à « non ».

Alors quelles seront vos trois questions?

Solution:

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1 – Introduction :
Cette énigme, imaginée par le philosophe George Boolos, est parue pour la première fois en 1992 dans le quotidien italien La Repubblica dans un article intitulé L’indovinello più difficile del mondo (traduisez « l’énigme la plus difficile du monde »).
L’énigme, reprise en 1996 dans le journal The Harvard Review of Philosophy, admet plusieurs solutions et je vais vous présenter ci-dessous l’une d’entre elles.

2 – Raisonnement:
Premier obstacle et lemme de la question incluse:

Le premier obstacle dans notre quête réside dans le fait que nous ne savons pas qui de « Plick » ou « Plock » veut dire « oui » et qui veut dire « non ».
Je ne peux manifestement pas utiliser une question dont je connais la réponse du genre « est-ce que je suis en train de vous parlez? », car selon le colosse à qui je m’adresse (Sincérité ou Tromperie), la réponse sera soit Plick soit Plock.
Si je voulais faire une analogie mathématique, je dirais que lorsque la réponse est 1, Tromperie me répond systématiquement -1.
Mais alors, que se passe-t-il si j’inclus ma question dans une autre question et que je demande à Tromperie « Que me répondrais-tu si je te demandais la réponse? »…
(-1) x (-1) = 1 / Mensonge x Mensonge = Vérité
Vous commencez à comprendre…
Imaginons une question Q et posons la question « Me répondras-tu « Plick » si je te pose la question Q? ». Alors, quelque soit mon interlocuteur (Sincérité ou Tromperie), si la réponse à Q est « oui », le colosse me répondra « Plick », si la réponse à Q est « non », le colosse me répondra « Plock ».
Les huit issues possibles sont représentées ci-dessous. Dans chaque cas est donnée la réponse du colosse à la question « Me répondras-tu « Plick » si je te pose la question Q? ».
Deuxième obstacle: le colosse Hasard

Rencontrer Hasard au jardin d’Eden voilà qui doit rappeler de bons souvenirs aux parisiens, mais pour nous qui ne sommes pas à Stamford Bridge cela signifie juste que le premier colosse à qui je m’adresse peut potentiellement me répondre n’importe quoi…
Il va donc nous falloir deviner très vite qui est Hasard, ou au moins trouver un colosse qui n’est pas Hasard.
Pour cela, nous allons donc devoir poser une question impliquant un autre colosse que celui auquel je m’adresse.

3 – Réponse finale et mise en application du raisonnement:

Baptisons temporairement nos trois colosses A, B et C.
Etape 1:
Je demande à A:
« Me répondrais tu « Plick » si je te demandais « B est-il Hasard? »? »

Soit A n’est pas Hasard est dans ce cas: s’il répond « Plick » alors B est Hasard, s’il répond « Plock » c’est C qui est Hasard. (cf lemme de la question incluse vu dans la partie raisonnement).
Soit A est Hasard et, quelque soit la réponse, ni B ni C ne sont Hasard.

J’en déduis finalement que si la réponse est « Plick »: C n’est à coup sûr pas Hasard, si la réponse est « Plock »: B n’est à coup sûr pas Hasard.

Etape 2:
Je demande au colosse identifié comme n’étant pas Hasard:
« Me répondrais tu « Plick » si je te demandais « Es-tu Sincérité? »? »
Comme nous savons que nous n’avons pas affaire à Hasard et d’après le lemme de la question incluse (voir la partie raisonnement), si la réponse est « Plick » nous avons affaire à Sincérité sinon c’est que nous sommes en train de parler à Tromperie.

Etape 3:
Je demande au même colosse:
« Me répondrais tu « Plick » si je te demandais « A est-il Hasard? »? »
Une fois encore, par le lemme de la question incluse: « Plick » = A est Hasard, « Plock » = A n’est pas Hasard.
Le nom de tous les colosses s’obtient finalement par élimination.

Crédit photo:

De Monstrorum Caussis, Natura, et Differentiis – LICETI, Fortunio