1 – Introduction :
Cette énigme, imaginée par le philosophe George Boolos, est parue pour la première fois en 1992 dans le quotidien italien La Repubblica dans un article intitulé  L’indovinello più difficile del mondo (traduisez « l’énigme la plus difficile du monde »).
L’énigme, reprise en 1996 dans le journal The Harvard Review of Philosophy, admet plusieurs solutions et je vais vous présenter ci-dessous l’une d’entre elles.

   2 – Raisonnement:
Premier obstacle et lemme de la question incluse:

Le premier obstacle dans notre quête réside dans le fait que nous ne savons pas qui de « Plick » ou « Plock » veut dire « oui » et qui veut dire « non ».
Je ne peux manifestement pas utiliser une question dont je connais la réponse du genre « est-ce que je suis en train de vous parlez? », car selon le colosse à qui je m’adresse (Sincérité ou Tromperie), la réponse sera soit Plick soit Plock.
Si je voulais faire une analogie mathématique, je dirais que lorsque la réponse est 1, Tromperie me répond systématiquement -1.
Mais alors, que se passe-t-il si j’inclus ma question dans une autre question et que je demande à Tromperie « Que me répondrais-tu si je te demandais la réponse? »… 
(-1) x (-1) = 1 / Mensonge x Mensonge = Vérité
Vous commencez à comprendre…
Imaginons une question Q et posons la question « Me répondras-tu « Plick » si je te pose la question Q? ». Alors, quelque soit mon interlocuteur (Sincérité ou Tromperie), si la réponse à Q est « oui », le colosse me répondra « Plick », si la réponse à Q est « non », le colosse me répondra « Plock ».
Les huit issues possibles sont représentées ci-dessous. Dans chaque cas est donnée la réponse du colosse à la question « Me répondras-tu « Plick » si je te pose la question Q? ».
Deuxième obstacle: le colosse Hasard

Rencontrer Hasard au jardin d’Eden voilà qui doit rappeler de bons souvenirs aux parisiens, mais pour nous qui ne sommes pas à Stamford Bridge cela signifie juste que le premier colosse à qui je m’adresse peut potentiellement me répondre n’importe quoi…
Il va donc nous falloir deviner très vite qui est Hasard, ou au moins trouver un colosse qui n’est pas Hasard.
Pour cela, nous allons donc devoir poser une question impliquant un autre colosse que celui auquel je m’adresse.

   3 – Réponse finale et mise en application du raisonnement:

Baptisons temporairement nos trois colosses A, B et C.
Etape 1:
Je demande à A:
« Me répondrais tu « Plick » si je te demandais « B est-il Hasard? »? »

• Soit A n’est pas Hasard est dans ce cas: s’il répond « Plick » alors B est Hasard, s’il répond « Plock » c’est C qui est Hasard. (cf lemme de la question incluse vu dans la partie raisonnement).
• Soit A est Hasard et, quelque soit la réponse, ni B ni C ne sont Hasard.

J’en déduis finalement que si la réponse est « Plick »: C n’est à coup sûr pas Hasard, si la réponse est « Plock »: B n’est à coup sûr pas Hasard.

Etape 2:
Je demande au colosse identifié comme n’étant pas Hasard:
« Me répondrais tu « Plick » si je te demandais « Es-tu Sincérité? »? »
Comme nous savons que nous n’avons pas affaire à Hasard et d’après le lemme de la question incluse (voir la partie raisonnement), si la réponse est « Plick » nous avons affaire à Sincérité sinon c’est que nous sommes en train de parler à Tromperie.

Etape 3:
Je demande au même colosse:
« Me répondrais tu « Plick » si je te demandais « A est-il Hasard? »? »
Une fois encore, par le lemme de la question incluse: « Plick » = A est Hasard, « Plock » = A n’est pas Hasard.
Le nom de tous les colosses s’obtient finalement par élimination.

La réponse est surprenante, mais la probabilité que cela vienne effectivement à se produire est nettement supérieure à 99%.
En fait, les ordres de grandeur en jeu sont tels, que nous serions arrivés au même résultat si je vous avais demandé « quelle est la probabilité pour que votre verre d’eau contienne une partie du dernier verre de chacun des 300 guerriers spartiates de Leonidas avant la grande bataille des Thermopyles? »
Si ça ce n’est pas un verre de guerrier, je mange ma cape.

Calcul et ordres de grandeur: 

Pour répondre à cette question, nous avons besoin de faire l’hypothèse que les molécules d’eau bues par ces trois personnages historiques ont eu le temps de se répandre à peu près uniformément sur la planète. Cela n’est pas complètement absurde, car ces bons messieurs nous ont quittés il y a déjà quelques temps et un certain nombre de phénomènes assurent un brassage continu de l’eau sur la planète (cycle de l’eau, vents, courants marins,…).
On néglige également les phénomènes de craquage de la molécule d’eau.
Une fois ces hypothèses faites, il nous faut connaitre deux données:

• Le nombre de molécules d’eau dans votre verre d’eau: environ 1×10²⁵ molécules.
  Pour ceux qui ont quelques souvenirs du lycée, pour obtenir ce résultat, on divise le poids de notre eau (env. 300g) par la masse molaire de l’eau (18g/mol) et on multiplie le tout par la constante d’Avogadro (6.02×10²³)
• Le volume d’eau global sur la planète : 1 340 000 000 km³. soit 1,34×10²¹ litres d’eau soit enfin 4,4×10⁴⁶ molécules d’eau.
  Source: National Oceanic and Athmospheric Administration

Nos protagonistes ayant tous trois vécus une cinquantaine d’années, on peut donc estimer le nombre de verres bus par chacun de ces hommes à 20 000  (cela fait à peine plus d’un verre par jour) soit 2×10²⁹ molécules d’eau bues dans une vie.
Déjà, sans faire de calcul de probabilité, nous voyons que si les molécules bues par l’un de ces hommes à capes ont bien été réparties sur la planète, alors chaque verre d’eau servi aujourd’hui devrait contenir plus de 45 millions de ces molécules.

On a donc à priori de bonnes chances d’en retrouver dans votre verre d’eau.

Calcul formel de la probabilité

Intéressons nous d’abord à Jules César, la probabilité qu’une molécule d’eau prise au hasard ait été bue par ce bon Julius est égale au ratio:

Ainsi, la probabilité que votre verre ne contienne aucune molécule d’eau bue par César est donc égale à :

Enfin donc la probabilité que votre verre d’eau contienne des molécules d’eau bues par César, Charlemagne et Napoléon est donc égale à:

Le résultat du calcul ci-dessus* donne une probabilité supérieure à 99.9%.
*Remarque: compte tenu des ordres de grandeur en jeu, votre calculatrice traditionnelle ne dispose pas d’une précision de calcul suffisante pour vous permettre de résoudre ce calcul à la maison (elle vous donnera probablement un résultat de 0). Si vous voulez refaire ce calcul chez vous, vous devez passer par un calculateur plus puissant [en voici un en ligne gratuit].

Référence:
une vidéo du très bon David Louapre traitant du sujet [ici]