Vous faites face à trois boites aux lettres.
– l’une d’elle contient une bonne et une mauvaise nouvelle.
– l’une d’elle contient deux bonnes nouvelles.
– enfin la dernière contient deux mauvaises nouvelles.

On vous propose d’ouvrir une boite aux lettres et vous en sortez une  bonne nouvelle.
Avant de piocher la seconde enveloppe, d’après-vous quelle est la probabilité que la deuxième lettre soit aussi une bonne nouvelle?

Solution du problème de Bertrand

Afficher la solution du problème de BertrandCacher

Illusions cognitives – Extension au problème de Monty Hall

Dans l’expérience de la boite de Bertrand, l’individu oublie souvent que la probabilité de tomber sur une boite aux lettres avec deux nouvelles identiques est plus importante que de tomber sur une boite aux lettres ‘mixte’.
Cette probabilité antérieure au premier tirage est neutre pour le résultat du premier tirage mais possède des répercussions sur les tirages suivants.
Un autre problème utilise ce mécanisme de probabilité masquée pour créer ce que l’on appelle une illusion cognitive.
Imaginez cette fois une rangée de 3 boites au lettres contenant chacune une enveloppe. Parmi ces enveloppes, une seule contient une bonne nouvelle.
Je vous demande de prendre une boite aux lettres, puis, pour maintenir le suspens, je choisi d’ouvrir devant vos yeux une des deux autres boites aux lettres restantes contenant une mauvaise nouvelle.
Il ne reste donc que deux boites aux lettres: celle que vous avez choisie et une autre.
Est-il judicieux à ce moment de changer de boite aux lettres pour espérer tirer la bonne nouvelle?

Solution du problème de Monty Hall

Conclusion

Pas toujours facile donc de prendre la bonne décision. Plus tangible que l’allégorie de la caverne, le problème de Bertrand est, à mon sens, une preuve évidente de la difficulté de l’homme à appréhender fidèlement le monde. Alors, au prochain arbitrage, faites vos comptes et ne laissez pas votre intuition vous priver d’une bonne nouvelle.

Le constat est étonnant et pourtant vous ne venez pas de vous étouffer de surprise. Et pour cause, notre unicité est acquise, un cadeau légitime dont on évalue pas toujours la valeur. Mais si l’extraordinaire complexité de notre génome a fait de nous des êtres sans pareil, saviez-vous qu’en mathématiques et en cryptographie, l’unicité est un caractère qui se paie le prix fort.
Facebook, prenons Facebook.  Depuis que l’horloge du bon copain vous rappelle quotidiennement l’anniversaire de chacun de vos contacts, vous avez du remarquer que (oh miracle) certains d’eux étaient nés le même jour.
« Ouais badaud, en même temps avec 400 amis FB et 365 jours dans l’année… »
Très juste… maintenant laissez moi vous poser une question.

Vous arrivez ce matin au bureau, 20 personnes sont assises dans l’open-space. Quelle est la probabilité que deux personnes soient nées le même jour?

Par « nées le même jour », j’entends « aient leur anniversaire le même jour ». Et bien les incrédules pourront afficher le calcul ci-dessous, pour les autres, sachez que la probabilité avoisine 1 chance sur 2.
Plus surprenant encore, si vous comptez 50 personnes sur l’ensemble de votre étage, la probabilité que deux personnes soient nées le même jour est de 97%.
Enfin, si votre étage contient plus de 96 personnes… apprenez que vous avez plus de chance de mourir écrasé par un astéroïde que de ne pas trouver deux personnes nées le même jour… [Source pour la probabilité de mourir écrasé par un astéroïde: Nature].
Ces résultats assez contre-intuitifs sont bien connus des probabilistes et portent le joli nom de ‘paradoxe des anniversaires’.

Afficher la démonstration (niveau lycée)Cacher la démonstration

Ci-dessous un petit récapitulatif numérique des probabilités en fonction du nombre de personnes dans votre bureau:

Application en cryptographie – sécurisation du WIFI

Le cryptage de votre WIFI: vous y avez forcément été sensibilisés, à genoux, recopiant docilement l’interminable clé WEP ou WPA de votre box Internet, priant le Dieu ADSL de ne pas vous être trompés d’un caractère. Et bien sachez que ce qui a été dit plus haut s’applique particulièrement en cryptographie et au fonctionnement de vos connexions WIFI.
Sans rentrer trop dans les détails, sachez que le mode de chiffrage des connexions WIFI a beaucoup évolué au cours de ces 10 dernières années, passant du simple protocole WEP au WPA pour aujourd’hui se concentrer sur le WPA2.
Le protocole WEP en particulier utilise un algorithme de chiffrage appelé RC4 pour coder les messages échangés avec votre Box.  L’une des règles fondamentales en sécurité informatique et plus spécifiquement lors de l’utilisation de tels algorithmes est de s’assurer que deux messages identiques ne donnent pas lieu à la même sortie (au même message crypté). Dès lors, il n’est donc pas possible de chiffrer tous les messages avec la seule clé WEP (récupérée sur votre Box).
L’astuce utilisée est donc de constamment modifier la clé de cryptage en rajoutant aléatoirement 24 bits (3 octets) à votre clé WEP. Ces 24 bits sont appelés « vecteur d’initialisation ». Vous joignez ensuite ce vecteur d’initialisation au message pour que votre interlocuteur (ici votre box) puisse déchiffrer à son tour le message.
Le problème c’est qu’avec 24 bits,  le vecteur d’initialisation ne peut prendre que 16 millions de valeurs différentes… C’est effectivement plus que 365… Mais le paradoxe des anniversaires s’applique une fois encore de telle sorte qu’après 12 000 messages échangés (quota atteint en quelques heures à peine), il n’y a déjà plus qu’une chance sur deux qu’aucun message n’ait été chiffré avec une clé déjà utilisée.
Ceci explique, entre autre, que depuis 2004 la majorité des connexions WIFI ont abandonné le WEP pour le WPA (qui utilise encore l’algorithme de chiffrement RC4 mais renforce l’alternance de la clé temporaire) puis le WPA2 (qui utilise un nouvel algorithme de chiffrement: AES).

Voilà qui devrait vous amener à apprécier encore d’avantage ce don précieux dont vous ne pesiez peut-être pas tout à fait le prix.

Références:
http://www.bibmath.net/crypto/index.php?action=affiche&quoi=chasseur/anniversaire
http://www.crack-wifi.com/forum/topic-7363-explications-plus-poussees-sur-le-decryptage-de-cle-wep.html
https://repo.zenk-security.com/Protocoles_reseaux_securisation/Les%20mecanismes%20de%20securite%20du%20Wireless%20LAN.pdf
http://pro.01net.com/editorial/213994/comment-wpa-securise-les-reseaux-radio-802-11/

Le supposé Mari : « Je connais un jeu où je gagne toujours. »
L’inconnu : «  Si vous ne pouvez pas perdre, ce n’est pas un jeu ! »
Le supposé Mari : « Je peux perdre, mais je gagne toujours. »
L’inconnu: « Essayons ! »

Introduction au théorème de Sprague-Grundy – les jeux de Nim

Reconnaître un jeu avec une stratégie gagnante – les jeux impartiaux

• C’est un jeu opposant deux joueurs, jouant alternativement.
• A tout moment du jeu, les deux joueurs ont une connaissance parfaite de l’état de ce dernier. On dit que le jeu est à information complète (exit donc la bataille ou le poker).
• Il n’y a aucune intervention du hasard au cours du jeu.
• Les coups des joueurs permettent de faire passer le jeu d’une position à une autre selon des règles définies. 
• A partir d’une position donnée, les positions accessibles par un joueur sont appelées ses options. Les options disponibles sont toujours les mêmes pour les deux joueurs (exit donc les échecs ou les dames qui appartiennent à la famille des ‘jeux partisans’)
• Les règles doivent être définies de telle sorte que toute partie se termine en un nombre fini de coups et ne doit pas pouvoir laisser place à un match nul (exit donc le morpion).
• La partie se termine lorsqu’un joueur ne peut plus jouer (« version normale »)

Dès lors que les conditions ci-dessus sont vérifiées, vous pouvez affirmer qu’il existe une stratégie « gagnante à tous les coups » pour ce jeu. Et j’ai envie de vous dire, si vous vous arrêtez là, vous avez déjà assimilé l’une des notions les plus importantes de ce billet.

Trouver la stratégie gagnante – Application au jeu de Marienbad

Si connaitre l’existence d’une stratégie gagnante semble être relativement facile, déterminer cette stratégie peut parfois s’avérer plus sport.
Ci-dessous, nous allons voir la méthode générale développée par Sprague et Grundy et appliquée au cas du jeu de Marienbad. Il s’agit de la méthode théorique généralisable à tout jeu impartial mais je vous expliquerai ensuite pragmatiquement comment faire le travail de tête lors d’une partie.

   1.  Méthode théorique générale – les moins courageux pourront esquiver cette partie

Afficher le détail de la partie théoriqueCacher

Pour simplifier un peu la chose, nous n’allons pas jouer à la version « misère » comme dans le film d’Alain Resnais, mais à la version « normale » (ie que le joueur prenant la dernière allumette a gagné).

Etape 1 : Trouver les nimbers

La notion de nimber, juste contraction des mots ‘Nim’ et ‘number’, est un pilier de la théorie des jeux combinatoire. Un nimber désigne un ‘jeu de Nim à un seul tas’ (par opposition au 4 tas d’allumettes décrits plus haut) mais par extension on appelle également nimber, un nombre entier caractéristique d’une position donnée pour un ‘jeu de Nim à un tas’. [Remarque; le nimber est aussi parfois appelé ‘nombre de Grundy’ ou ‘nimbre’ pour les anglophobes].
Dans le cas du jeu de Marienbad du film de Resnais, il y a quatre tas d’allumettes donc quatre nimbers. Reste à voir comment calculer ces nimbers.
Le nimber d’un tas se définit alors comme ce qui suit:

• Le nimber de la position finale vaut 0
• Le nimber d’une position donnée est définit comme le plus petit entier naturel (ie positif ou nul) n’apparaissant pas dans la liste des nimbers des positions pouvant suivre immédiatement cette position.

Alors comme ça… ça peut sonner un peu cabalistique mais avec des exemples tout est plus clair:
Pour un tas de 0 allumette: le nimber est 0 (cf définition).
Pour un tas de 1 allumette: le nimber est 1. Lorsqu’il ne reste qu’une allumette, je n’ai pas le choix : je vais enlever une allumette et la position suivante sera un tas de 0 allumette. La liste des nimbers des positions suivantes est donc {0}.
Le plus petit entier positif n’appartenant pas à la liste {0}, c’est bien 1.
Pour un tas de 2 allumettes: le nimber est 2. Lorsqu’il reste deux allumettes, je peux soit choisir d’en retirer une, soit deux : la positions suivantes possibles sont « un tas de 0 allumette » ou « un tas de 1 allumette ». La liste des nimbers des positions suivantes possibles est donc {0,1}.
Le plus petit entier positif n’appartenant pas à la liste {0,1}, c’est bien 2.
Dans le cas du jeu de Marienbad, les nimbers correspondent donc aux nombres d’allumettes de chaque tas (facile!)

Remarque: Imaginons que nous soyons dans une émission de télévision grand publique et que je porte un masque à tête de tigre (grrrr). J’aurais alors pu rajouter la règle « chaque joueur ne peut enlever que 1,2 ou 3 allumettes » dans ce cas:
Pour les tas de 0,1,2 et 3 allumettes, tout marche pareil, mais c’est après que les nimbers changent un peu.
Pour un tas de 4 allumettes, la position 0 allumette ne peut pas être atteinte (je ne peux retirer que 3 allumettes au maximum). La liste des nimbers des positions suivantes sera donc {1,2,3} et le plus petit entier naturel n’appartenant pas à cette liste c’est 0.
Pour un tas de 5 allumettes, le nimber est  1
6 allumettes: le nimber est 2 …
et ainsi de suite.
Pour un tas de n allumettes, le nimber est donc définit comme le reste de la division euclidienne du nombre d’allumettes du tas par 4.

Etape 2 : Chercher à annuler la somme de Nim des nimbers

Et maintenant on fait quoi avec nos nimbers?
Et c’est là que Sprague et Grundy interviennent. En effet, le théorème de Sprague-Grundy nous explique que tout jeu impartial peut être transformé en un « jeu de Nim à un tas » équivalent possédant un nimber propre à chacune de ses positions. Pour le cas du jeu de Marienbad (Bouton l’avait déjà démontré), le nimber global du jeu peut s’obtenir en faisant la somme de Nim des différents nimbers.
Une fois cet unique nimber obtenu et propre à chaque position du jeu.

La stratégie gagnante (pour la version ‘normale’) consistera toujours à agir sur le jeu de manière à annuler ce nimber global.

Donc comme nous l’avons dit, pour le jeu de Marienbad, ce nimber s’obtient en faisant la somme de Nim des nimbers des différents tas.
Pour effectuer cette opération un peu spéciale, il faut commencer par passer tous nos nimbers en binaire.
Alors, pour rappel, écrire un nombre en binaire c’est décomposer ce nombre en une somme de puissances de 2.
L’astuce pour convertir facilement un nombre décimale en binaire consiste à le diviser plusieurs fois par 2 et regarder le reste Euclidien de chacune de ces divisions (cf figure 3, ci-contre).
Une fois nos quatre nimbers passés en binaire, il faut les sommer un à un avec les règles suivantes (les informaticiens reconnaîtront une somme XOR):

• 0+0=0
• 1+1=0
• 1+0=0+1=1

Dans notre cas précis, notre somme est égale à 000

Et comme l’objectif poursuivit par une stratégie gagnante est de toujours faire passer cette somme de Nim à 000, on constate donc que la position initiale est une position perdante. En effet, puisque la somme de Nim est déjà égale à 0, toute action de jeu la fera varier vers un résultat différent de 000 (c’est pas moi qui le dit, c’est Bouton!).

 

Mise en application:

Imaginons que votre adversaire joue en premier, vous êtes donc dans une position gagnante…

Si vous vous appliquez, votre adversaire n’a aucune chance de gagner. Votre adversaire prend deux allumettes dans la pile de 7  allumettes. La nouvelle configuration est donc : 4 rangées de 1,2,5 et 5 allumettes.
La somme de Nim est alors de 010.
Il vous faut donc refaire passer cette somme à 000. Pour cela vous pouvez retirez deux allumettes au tas de 3 allumettes.

 

    2.  Méthode pratique appliquée au jeu de Marienbad

figure 4 – application pratique de Sprague-Grundy – Etape 1

La stratégie gagnante consiste alors à toujours essayer de revenir dans une situation où chaque regroupement est présent en nombre pair (0,2 ou 4).
Maintenant, l’action de votre adversaire va perturber ces groupes. Imaginons qu’il enlève 3 allumettes à la deuxième ligne.

1. Impossible de recréer un groupe de 4 allumettes, vous allez donc devoir casser ce groupement en première ligne. Il faudra donc enlever au moins 4 allumettes en première ligne.
2. Puis en ne touchant qu’à la premier ligne, vous allez devoir créer ou enlever un groupement de 1 allumette et un 1 groupement de deux allumettes. Pour cela il vous faudra enlever 3 allumettes supplémentaires dans la première rangée.

figure 4 – application pratique de Sprague-Grundy – Etape 3

Conclusion – une histoire de symétrie

Références:
Traitant du sujet:
https://interstices.info/jcms/i_61780/strategies-magiques-au-pays-de-nim
http://web.mit.edu/sp.268/www/nim.pdf
https://math.berkeley.edu/~liangrc/ttc/Report.pdf
http://eljjdx.canalblog.com/archives/2009/08/01/14595654.html
Pour celles et ceux qui aimeraient trouver la fonction de Grundy permettant d’obtenir le nimber de la position initiale du jeu des pièces, pas facile mais une piste ci-dessous:
http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html

Nous nous sommes tous déjà confrontés à une forme d’acharnement divin, une situation pénible qui semble se répéter irrémédiablement. Certains l’appellent « loi de Murphy », d’autres « fatalité » mais rares sont ceux qui désirent y voir une forme de causalité mathématique.
Voyons ensemble un des plus célèbres paradoxes statistiques, j’ai nommé le paradoxe de l’inspection (parfois aussi appelé paradoxe du temps d’attente ou paradoxe de l’autobus).

 Mise en situation – votre problème

 Explication qualitative du problème

AfficherCacher

Etape 1: La question et sa réponse

Question : j’ai suivi ta méthode permettant d’obtenir 1-1+1-1+1…=1/2. Je l’ai appliqué à la somme :
1+1+1+1+…=J
J’obtiens alors 1+J=J, soit 1=0.
Je ne comprends ce résultat. N’invalide-t-il pas ta méthode de démonstration ?

Réponse : c’est une excellente remarque qui met en lumière les raccourcis de la première démonstration. Toutefois, ce résultat n’invalide ni le résultat ni sa démonstration mais exige quelques explications.
Si l’on avait voulu faire les choses un peu plus sérieusement, on aurait d’abord expliqué ce qu’il faut à un « + » pour qu’il soit considéré comme une vraie méthode de sommation. Traditionnellement (je reviens dessus un peu plus tard), une méthode de sommation respecte trois propriétés :

• La linéarité : Cela veut dire que si  j’ai une série de termes An dont la somme vaut A (respectivement Bn dont la somme vaut B) alors la somme des termes An+λBn vaut A+λB.
• La régularité : c’est le fait que, pour toutes les sommes finies de nombres, la méthode de sommation coïncide avec la méthode usuelle de sommation (le «+» que l’on utilise depuis tout petit) (j’en parle dans mon premier billet).
• La stabilité : c’est le fait que l’on puisse toujours extraire un nombre fini de termes en début de série, de sorte que  ΣAn= (A0+A1+A2 + …+Ak) + ΣAn+k

En fait, dans la première démonstration de mon précédent billet, je fais une hypothèse implicite qui est :
« Supposons qu’il existe une méthode de sommation stable, linéaire et régulière permettant de sommer la série série (1,-1, 1, -1,…) alors… »
Puis j’utilise ces trois propriétés  pour obtenir finalement … A=1/2.
Cette hypothèse est valable pour la série (1,-1, 1, -1, 1,…) parce que d’autres l’ont démontrée avant moi. Cette série s’appelle d’ailleurs la série de Grandi et voici un article détaillé [ici] Du coup, lorsque vous obtenez 0=1 en utilisant cette démonstration pour la série 1+1+1+1+… vous démontrez (par l’absurde) qu’il n’existe pas de méthode de sommation stable, linéaire et régulière permettant de sommer la série (1,1,1,1,…).
D’ailleurs, en guise de remarque, si vous regardez les méthodes de sommation d’Abel, elles ne sont définies que pour des suites de réels positifs strictement croissantes tendant vers l’infini.
[Article ici]

Etape 2: Discussion sur les propriétés de la méthode de sommation permettant d’obtenir 1+2+3+…= -1/12

Un peu plus haut, je vous ai dit que les méthodes de sommation respectent traditionnellement les propriétés de régularité, linéarité et stabilité.
En fait, ces trois propriétés sont très lourdes à respecter et les scientifiques choisissent parfois de s’affranchir de certaines d’entre elles.
Ainsi certaines méthodes importantes, telles que la sommation de Borel ne sont pas stables…
De même, en analyse complexe, il arrive parfois que l’on abandonne les propriétés de régularité et de linéarité pour aboutir à des méthodes d’approximation plus puissantes, c’est notamment le cas de la méthode de l’approximant de Padé.
Et je ne vais pas vous le cacher plus longtemps, le « + » de notre somme 1+2+3+4+…=-1/12 ne respecte pas l’ensemble des trois propriétés énoncées plus haut.
Une façon simple de s’en convaincre est de regarder ce que vaut le prolongement analytique de Zêta en 0. Pour rappel, Zêta est défini comme: 

Pour s=0, il s’agit de notre somme 1+1+1+1+…

Et bien, alors que nous avions démontré ensemble plus haut qu’il n’existait pas de méthode de sommation linéaire, régulière et stable pour la série (1,1,1,1,…), le prolongement analytique de Zêta est, quant à lui, bien défini en 0 et vaut -1/2.
Et oui, 1+1+1+1+… = -1/2 (l’article wikipedia sur ce sujet : [ici])
En fait, la méthode de sommation utilisée pour trouver notre résultat -1/12 ne respecte pas au moins une des propriétés de linéarité, régularité et stabilité.

En réalité, l’on peut démontrer facilement que s’il existe une méthode de sommation applicable à la série (1, 2, 3, 4,…), elle est alors soit linéaire, soit stable (mais pas les deux).
En guise d’aveu, la méthode de régularisation de la fonction zêta évaluée en s=-1 (démonstration illustrée dans la section ‘pour aller plus loin’ de mon précédent billet) présente une méthode de sommation stable mais non linéaire… mais, disons le nous, cela n’enlève rien à son côté déroutant.

Et badaboum, la réponse est unanime : l’infini!
(Bon préparez vous à lever l’index et à afficher votre plus beau rictus)
Si je vous disais maintenant que 1+2+3+4+5+… = -1/12.

De quoi qu’on cause?

Ne vous y trompez pas, il ne s’agit pas d’une nouvelle arnaque où je planque discrètement une division par 0 dans mes calculs pour vous prouver que 1=0. Ce résultat est admis par la communauté scientifique et je vous invite à parcourir les références citées en bas de page pour vous convaincre que si quelque chose cloche encore à la fin de ce billet c’est que vous ne regardez probablement pas le problème avec le bon angle.
En fait, à bien y regarder, l’idée de dire que tous les infinis ne se « valent » pas n’est pas récente.
Dès le début du XXème siècle, un mathématicien allemand du nom de  Georg Cantor vient nous expliquer que les nombres réels (1, 2.335597, π ,…) sont plus « nombreux » que les nombres entiers.
L’idée à de quoi troubler… ces deux quantités sont infinies et l’infini c’est l’infini… non?
En fait, il existe un exemple qui illustre assez bien ce qu’a montré Cantor : le paradoxe de l’hôtel de Hilbert. Vous pouvez retrouver ce paradoxe amusant dans un autre de mes billets : L’hôtel de Hilbert – Y a -t-il quelque chose de plus grand que l’infini ?
Voyons maintenant comment l’on peut montrer simplement que la somme de tous les nombres entiers peut être égale à -1/12.

Explication (notions requises: addition et soustraction)

Etape 1 : regardons ensemble la somme 1-1+1-1+1-1+… admettons que son résultat puisse être défini et appelons le A:

Si on regarde à quoi ressemble 1-A, on s’aperçoit que l’on retrouve exactement la même série de 1 et -1 que ci-dessus. Les deux membres sont donc égaux et l’on peut en déduire A facilement.

Etape 2 : maintenant regardons la somme 1-2+3-4+… une fois encore admettons l’existence d’un résultat que l’on appellera B.

Toujours dans une infinie curiosité, regardons à quoi pourrait ressembler A+B puis -1+A+B

Une fois encore, on reconnait la série des termes de B avec toutefois un signe opposé. On a donc l’égalité suivante qui nous permet également de définir B (maintenant que l’on connait A).

Etape 3 :  Enfin regardons la somme qui nous intéresse 1+2+3+4+… et appelons son résultat C.
Plus précisément regardons la différence des résultats C-B.

En faisant un peu appel à nos souvenirs de primaire et à l’angoisse du tableau noir, on reconnait une série qui ressemble fort à la table du 4. On peut donc factoriser l’expression pour faire apparaître le terme 4xC, puis en déduire C (maintenant que l’on connait B).

Nous y voilà, l’égalité 1+2+3+4+5+…=-1/12
Pour celles et ceux qui ont levé le doigt dès le début de la démonstration, je vous donne rendez-vous tout en bas du billet dans le chapitre ‘pour aller plus loin’.

Bon ok, c’est quoi le truc?

En fait, derrière ce résultat paradoxal se cachent les fondements de ce qui est aujourd’hui considéré comme le plus grand problème mathématique jamais démontré: l’hypothèse de Riemann (2).
David Hilbert, une belle pointure en mathématiques, aurait à ce titre confié « si je devais m’endormir pendant 1000 ans, la première chose que je demanderai à mon réveil serait ‘l’hypothèse de Riemann a -t-elle été démontrée?' ».
Même si je pense qu’Hilbert en pareilles circonstances aurait d’abord demandé les toilettes, il est vrai que ce problème a fasciné des générations entières de mathématiciens, et pour cause, il flirte avec la partie la plus démoniaque des mathématiques: les séries divergentes (Mouhahaha…).
Le problème intellectuel lié à cette somme, c’est que l’on a du mal à considérer la somme des nombres entiers positifs comme un objet nouveau et totalement différent d’une somme gigantesque (mais finie) de nombres.
Pourtant le problème est bien là! Imaginons que je prenne la somme des entiers naturels allant de 1 jusqu’à un gogolplex(1), (un gogolplex c’est vraiment énorme, je vous invite à aller jeter un coup d’oeil à la note de fin de page). Et bien même cette somme, aussi immense soit-elle, n’est pas du tout comparable à la somme des entiers positifs. Ces deux sommes sont de natures complètement différentes, cela revient à comparer un choux avec une mangouste… et c’est là dessus que repose le côté paradoxal du résultat -1/12.
Je m’explique, depuis votre tendre enfance on vous a défini l’addition comme l’opérateur vous permettant de calculer les bonbons que vous aurez quand Jacques et Paul vous auront filé les leurs. Cette définition avait l’avantage de combiner l’enseignement des mathématiques et de l’altruisme, mais a le fâcheux inconvénient de très mal s’appliquer à des objets mathématiques un peu particuliers: les sommes infinies de nombres.
En d’autres termes, le signe « + » que j’ai utilisé plus haut n’est pas celui que vous connaissez, ou plus exactement il est plus que ça!
On y vient.
Puisque je n’arrive manifestement pas à définir un résultat lorsque le nombre de termes de mon addition est infini, je vais devoir définir un opérateur qui me le permettra mais qui correspondra aussi exactement à mon opération « + » (celle de Jacques et Paul) lorsque le nombre de termes de mon addition est fini.
C’est ce que nous avons tacitement fait dans la démonstration ci-dessus et ce qui est fait plus explicitement dans le chapitre ‘pour aller plus loin’.

Ok mais ça veut dire quoi ce résultat, concrètement?

A ce moment précis, vous vous dites surement « super, encore un délire de mathématicien ».
Pas faux, mais comme bien souvent dans l’histoire, les mathématiciens fabriquent des objets théoriques puis les physiciens piochent dans ces boîtes à outils pour résoudre des problèmes bien réels.
Et le fait est, qu’ici encore, la physique a trouvé des applications effectives au résultat évoqué plus haut.
Pour ceux qui n’en aurait jamais entendu parler, l’effet Casimir prévoit que deux plaques conductrices placées dans le vide s’attirent mutuellement.
Cette force attractive, expliquée par les fluctuations quantiques du vide, a tenté d’être calculée par ce bon Casimir.
Sans rentrer dans les détails, la difficulté admise de ce calcul réside dans le fait que si vous admettez que le vide possède une énergie, dès lors vous vous retrouvez avec des sommes infinies.
Vous pouvez finalement vous extraire de cette passe difficile avec le résultat

Mais comble de l’ironie mathématique (je viens de l’inventer celle là), en 1997 le chercheur Steve Lamoreaux publia dans Nature les résultats de son expérience qui venaient valider les calculs de Casimir effectués 50 ans plus tôt.
Pour plus de détail sur ces calculs, allez jeter un oeil à la partie ‘pour aller plus loin’

Conclusion – s’extraire du système 

En fait, vous ressentez probablement aujourd’hui la même chose que moi le jour où j’ai appris au lycée qu’il existait une solution à l’équation:alors qu’on m’avait bien dit jusqu’alors que tous les nombres carrés étaient positifs!!!
Le sentiment d’incompréhension et de vertige lorsque vous êtes dans une chambre, qu’on vous ouvre une porte (pour moi celle des nombres complexes, pour vous celle des opérations sur les séries divergentes) et que tout d’un coup, par le biais d’un passage dans cette nouvelle pièce mystérieuse vous réalisez que vous pouvez accéder à d’autres coins de votre chambre qui vous étaient jusqu’alors inaccessibles sinon inconnus.
Ce point est joliment illustré dans le roman FlatLand de Edwin Abbott Abbott.

L’histoire, qui se déroule dans un monde plat (ie en 2 dimensions), nous raconte comment l’un de ses habitants (un carré), voyant un jour apparaître une sphère, va tenter de convaincre ses congénères de l’existence d’une troisième dimension spatiale.
Le roman est écrit à la première personne et l’on suit le point de vue du carré. On nous explique notamment que dans ce monde plan, où seuls deux dimensions existent, la lumière est présente partout même à l’intérieur des habitations pourtant complètement fermées. Les habitants ne comprennent pas d’où vient cette lumière car elle vient d’en haut et donc d’une dimension qu’ils ne peuvent pas percevoir. Je trouve amusant le parallèle que l’on peut tracer avec ce que l’on appelle aujourd’hui l’énergie sombre (ou énergie noire) qui est une forme d’énergie emplissant uniformément tout l’univers et dont l’origine reste encore mystérieuse (un peu comme la lumière baignant uniformément FlatLand).
Alors je sais, comme ça, ça sonne un peu ésotérique, mais c’est super court et ça se lit bien.
Alors si maintenant, comme moi, vous vous sentez animé d’une foi indéfectible en l’ignorance humaine, n’oubliez pas ce que ce bon Albert disait: « ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible ». [« Comment je vois le monde » A.Einstein 1934]

(1) un gogolplex: c’est 10^gogol… et un gogol c’est 10^100.
On estime que le nombre de particules dans l’univers est 10^20 fois inférieur à un gogol.
Ainsi, si un gogol peut s’écrire comme un 1 suivi de 100 zéros derrière.
Le gogolplex, quant à lui, ne peut tout simplement pas s’écrire!! en effet même si j’arrivais à écrire des zéros de la taille d’une particule physique, il me faudrait un peu plus de 100 milliards de milliards d’univers pour pouvoir tous les écrire. De quoi donner le vertige, non?
(2) L’hypothèse de Riemann définit la fonction ζ (prononcé zêta) comme :

Avec s : un nombre appartenant à l’ensemble des nombres complexes privé de 1 (pour la définition de la fonction sur l’ensemble des complexes à partie réelle négative voir le chapitre ‘pour aller plus loin’).

Remarquons que notre égalité peut alors s’écrire ζ(−1)=-1/12, on remplace dans la fonction ci-dessus les s par -1.
L’hypothèse de Riemann conjecture alors que cette fonction s’annule uniquement pour :
(i) des nombres réels négatifs paires (eh oui  ζ(−2)=0!); et 
(ii) pour des nombres complexes avec une partie réelle égale à 1/2. Si l’on se figure un nombre complexe comme un point à deux coordonnées sur un plan, cela veut dire qu’à droite de l’axe des ordonnées, la fonction zêta ne s’annule que sur une droite verticale d’équation x=1/2.
C’est cette deuxième partie (ii) que les mathématiciens n’ont toujours pas réussi à démontrer.

Et si les scientifiques s’acharnent à démontrer ce problème, c’est que sa résolution permettra de résoudre bien d’autres problèmes actuellement ouverts en mathématiques ou en physique (répartition des états d’énergie d’un atome, répartition aléatoire des nombres premiers,…). 

Anecdotiquement, l’hypothèse de Riemann nous a déjà démontré que l’on est pas obligé de savoir de quoi on parle pour publier dans un grand quotidien.  En effet, en 2004, un journaliste du Guardian nous expliquait que la démonstration de la conjecture de Riemann nous guiderait vers un cataclysme Internet [ici]. L’idée, reprise par d’autre depuis, fait référence aux modes de cryptage reposant sur la difficile factorisation des nombres premiers… Or l’hypothèse de Riemann, si elle était démontrée, expliquerait justement que les nombres premiers sont répartis aléatoirement au sein des entiers… Je ne vois pas vraiment comment le fait de savoir que les nombres premiers sont répartis aléatoirement pourra aider un hacker à factoriser un nombre premier.

Références:
Autres articles sur le sujet:
1.Article vraiment bon et accessible:
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
2.Une petite vidéo du génial Mickaël Launay:
https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U
Fonctions zêta:
3.Prolongement analytique de zêta sur l’ensemble des complexes privé de 1:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Extension_.C3.A0_.E2.84.82-.7B1.7D
4.Un traitement plus arithmétique de la fonction zêta:
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups02-02.pdf
5.Un article plus général sur les travaux de Riemann et son prédécesseur Euler:
https://jfresan.files.wordpress.com/2011/04/lecture-de-riemann.pdf
Nombre de Bernouilli:
6.http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Bernoulli
Effet Casimir:
7.http://www.scholarpedia.org/article/Casimir_Force
8.http://www.larecherche.fr/savoirs/physique/force-qui-vient-du-vide-01-06-2004-88969

Pour aller plus loin (déconseillé à ceux qui n’aiment pas les formules)

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Introduction au jeu des cochons

En bref, le jeu des cochons est un jeu de dé très simple opposant deux joueurs. Lorsque son tour vient, un joueur a le droit de lancer le dé autant de fois qu’il le veut tant qu’il ne fait pas de « 1 ». Si l’obtient un « 1 », le joueur ne marque aucun point et cède son tour à l’adversaire. Toutefois avant chaque lancer de dé, le joueur possède deux options :
(i)     S’arrêter là et céder son tour à l’adversaire. Il marque alors les points cumulés sur tous les lancés de dé du tour.
(ii)   Relancer le dé et venir augmenter son capital de points sur le tour, sachant que s’il obtient « un 1 », il perdra l’ensemble des points cumulés sur le tour et devra céder son tour.
Le premier joueur à atteindre 100 points a gagné.
Ainsi, par sa structure, le jeu pourrait être comparé à une opération de spéculation sur des actifs financiers. Je risque un capital précédemment acquis pour tenter d’augmenter mon gain.

La performance: maximiser ses gains

Une stratégie cherchant à maximiser ses gains à chaque tour (ie minimiser le nombre de coups nécessaires pour atteindre 100) s’appuiera sur l’espérance mathématique de gain. En d’autres termes, compte tenu des probabilités d’occurrence de chaque nombre, quel montant suis-je en droit d’espérer à chaque tour ?  Là-dessus, les mathématiques peuvent nous aider, l’espérance de gain à chaque tour est de 20 points.

Explication : les nombres pouvant me permettre d’augmenter mon capital de points sont 2,3,4,5 et 6 (soit une espérance de gain de 4). Or, à chaque lancé de dé, je dispose d’une chance contre 5 de faire un « 1 » et ainsi de perdre. L’espérance totale d’un tour est donc de 5 x 4 = 20.

Ma stratégie consistera donc à viser les 20 points sur chaque tour et m’arrêter une fois ceux-ci obtenus.
Notons bien que cette stratégie ne s’inscrit pas dans un objectif de record (qui ne serait alors qu’une compétition contre moi même).
Cette stratégie me garantit juste d’ »être bon ».

Stratégie optimale pour la victoire

Maintenant, changeons un peu d’objectif, je ne cherche plus à maximiser mes gains à chaque tour (ce que j’ai appelé « être bon ») mais je cherche à battre mon adversaire.
Et bien là, croyez-le ou pas, la stratégie change complètement. En outre, le choix à opérer ne dépend plus de mon seul capital de points déjà acquis sur le tour, mais dépend également de mon total de points et du total de points déjà acquis de mon adversaire.
Ci-dessous, une vision en trois dimensions de la limite entre l’espace de décision « jouer » et l’espace de décision « s’arrêter là » d’après la stratégie optimale. On y représente ainsi le nombre de points k à atteindre sur un tour avant de s’arrêter en fonction du nombre de points i que je possède déjà et du nombre de points j de mon adversaire. Cette courbe a été obtenue sur Excel à partir du système d’équations décrit dans le chapitre ‘pour aller plus loin’.

Pour faire simple, si vous vous situez sous la surface, la stratégie optimale vous recommande de jouer, si vous êtes au–dessus, la stratégie optimale vous recommande d’arrêter, de comptabiliser vos points et de céder votre tour.
Prenons comme convention: i: mon nombre de points, j: le nombre de points de mon adversaire, et k: le nombre de points cumulés sur le tour auquel il m’est recommandé de m’arrêter de jouer.
Assez logiquement, la surface de décision est bornée par le plan k=100-i. En effet, si mon nombre de points est de i=70 et que mon score cumulé sur le tour est de k=30, je n’ai aucune raison de continuer à jouer, j’ai gagné et ce quelque soit le nombre de points j de mon adversaire.

Comparaison des deux stratégies

A priori, les deux objectifs ne semblait pas si différents l’un de l’autre. D’un côté je cherchais à maximiser mon score à chaque tour et de l’autre je cherchais à battre mon adversaire. Intuitivement, on pouvait quand même prévoir quelques dissemblances aux cas limites. Exemple: je suis à 78 points, mon adversaire est à 95 points, je ne vais pas m’arrêter à 20 points et lui laisser le dé alors que je suis à deux points de la victoire.
Toutefois, on aurait pu se dire que, à une vache près, les cas doivent se compenser. On aurait même pu penser que la surface de la courbe (représentant le nombre de points pour lequel il faut arrêter de jouer et céder son tour) avait pour moyenne 20. N’y pensez pas, la moyenne est de 26 coups dans la seconde stratégie, soit 30% de plus que l’espérance mathématique de gains!

Ainsi, en moyenne, la stratégie 2, en intégrant le facteur ‘adversaire’, nous incite à jouer là où la stratégie 1 et le calcul de l’espérance mathématique nous recommande d’arrêter.

Pour ma part, j’aime à dire que cet écart traduit le coût de la ‘prise de risque’ induite par la compétition.
Enfin, seul point de rapprochement entre les deux stratégies, lorsque je me place loin des limites de la deuxième stratégie, c’est à dire dans le cas où mon adversaire et moi-même comptabilisons tous deux 50 points, dans ce cas le k optimal est à 21 points. Ainsi dans cette situation ponctuelle, les deux stratégies se rejoignent (cf ci-dessous – coupe transversale obtenue pour un nombre de points de l’adversaire fixé à 50 points).

Ci-dessus, sont représentés les deux stratégies dans le cas spécifique où mon adversaire a 50 points au compteur. La stratégie 1, qui ne tient pas compte de la compétition avec mon adversaire, prévoit comme décrit plus haut un k fixe à 20 points et intersecte la stratégie 2 quand mon nombre de points avoisine 50 points.

Conclusion 

La stratégie pour gagner est différente de la stratégie visant à maximiser le nombre de points à chaque tour.
Une fois cette réalité acceptée et digérée, peut-être pourriez-vous vous réinterroger sur vos vrais intentions au quotidien.
Voulez-vous être le plus heureux possible ou plus heureux que votre voisin ? Voulez-vous maximiser les gains de l’entreprise ou dépasser les résultats obtenus l’an passé ?Vous pensiez sans doute que ces objectifs accouchaient des mêmes stratégies, aujourd’hui vous savez que c’est faux, alors réfléchissez une fois encore sur le cap, il se pourrait bien que l’itinéraire change un peu.

Références:
Todd W. Neller and Clifton G.M. Presser. Pigtail: A Pig Addendum, The UMAP Journal 26(4) (2005), pp. 443–458.
Todd W. Neller and Clifton G.M. Presser. Practical Play of the Dice Game Pig, The UMAP Journal 31(1) (2010), pp. 5–19.

Pour aller plus loin :

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Introduction à l’effet de Yule-Simpson

Mettons nous en situation, ce matin je lis mon journal, un café brûlant au bout des doigts, et j’apprends que le loyer moyen de ma ville a augmenté de +3% au cours des 12 derniers mois. Revêche, je me dis que le maire a encore loupé une occasion de tenir ses promesses.

Puis, curieux, j’avale d’un trait mon petit brun et décide de regarder dans quels arrondissements les loyers ont augmenté.
J’épluche alors les rapports de la mairie et constate que, loin d’avoir augmenté, les loyers moyens ont baissé dans tous les arrondissements de ma ville.
Dans chacun des 4 arrondissements, le loyer moyen a baissé entre 0.4 et 0.8%.

Je fais donc le constat insolite suivant: lorsque je regarde l’ensemble des locataires de ma ville, sur les 12 derniers mois, le loyer moyen a significativement augmenté mais lorsque je découpe ce même ensemble par arrondissement et que je regarde chaque arrondissement individuellement, tous les arrondissements ont vu leur loyer moyen diminuer.
En définitive, les mesures prises par le maire semblent finalement avoir été efficaces dans tous les arrondissements de la ville.
Voilà mon erreur admise et ma curiosité décuplée. En néophyte, je pourrais même penser que l’effet Yule-Simpson est un paradoxe ésotérique imprévisible.

En réalité, l’effet Simpson répond à une logique implacable. Pour mieux comprendre, il faut s’attarder sur l’évolution de la répartition des locataires par arrondissement.
Un simple coup d’œil aux loyers moyens par arrondissement permet de remarquer que le 2ème arrondissement fait figure de quartier chic, les loyers y sont beaucoup plus élevés qu’ailleurs. Or durant les douze derniers mois, la part de locataires dans cet arrondissement a augmenté faisant subséquemment augmenter le loyer moyen de la ville et ce bien que le loyer moyen au sein même de cet arrondissement ait diminué.
Par conséquent, même si, pris individuellement, chaque arrondissement a vu son loyer moyen baisser, au global le loyer moyen de la ville a augmenté.
Le plus paradoxal dans cet exemple est que si je n’avais pas disposé de l’information par arrondissement, je me serais sans doute forgé une opinion négative de notre bon maire.

Application de Yule-Simpson aux derniers chiffres publiés par la DARES⁽¹⁾ :

Intéressons-nous maintenant à l’impact du travail de l’agence pour l’emploi sur la durée d’inactivité des demandeurs d’emploi en France. Les chiffres publiés par la DARES semblent parler d’eux-mêmes, entre aout et septembre 2014, le nombre de demandeurs d’emploi de catégories A, B et C en France métropolitaine est passé de 5 078k à 5 128k et la durée d’inscription moyenne s’est maintenue à 283 jours.

Découpons maintenant cette population entre demandeurs d’emploi de moins de 50 ans et demandeurs de plus de 50 ans.

Surprise, une fois encore, la conclusion change et nous voilà bien forcés d’admettre que l’action de l’agence pour l’emploi a bien eu un effet positif sur ces deux sous-populations.

Ainsi étonne le paradoxe de Simpson. Mais ne vous y trompez pas, le phénomène n’est pas rare et apparait fréquemment dans les analyses de données statistiques. Les exemples historiques ne manquent d’ailleurs pas et je vous recommande ce très bon article du professeur Thomas C. Redman qui illustre un autre cas d’erreur d’interprétation propre au secteur du multimédia [le lien ici]

Mieux comprendre et anticiper le phénomène :

Le cœur de ce paradoxe repose sur (i) l’hétérogénéité de l’échantillon (les spécialistes parlent d’échantillon non randomisé) et sur (ii) l’existence d’un facteur de confusion, c’est-à-dire d’une propriété de l’échantillon (ici l’âge du demandeur d’emploi) possédant un fort coefficient de corrélation avec la variable observée (ici la durée d’inscription à pôle emploi). En réalité dans notre exemple, l’augmentation de la durée d’inactivité est expliquée par l’augmentation de la part de demandeurs d’emploi de plus de 50 ans sur la période.
Une fois encore, le plus troublant est que si nous n’avions pas disposé des données chiffrées par tranche d’âge, nous aurions pu finalement être tentés de conclure que, sur la période août-septembre :

• le nombre de demandeurs d’emploi a augmenté VRAI
• quel que soit l’âge d’un demandeur d’emploi, sa durée d’inscription moyenne d’inscription a également augmenté. FAUX

Nous sommes ici au plein cœur de la notion même de probabilité conditionnelle à l’origine de nombreux paradoxes (paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des prisonniers,…).

Conclusion :

Beaucoup de gens confondent pessimisme et scepticisme. Le sens critique est une vertu qu’il est également bon d’employer quand le tableau est plus sombre. Quelques soient les situations, l’analyse est vitale et nécessite bien souvent plus de données que prévues.
Ainsi même lorsque la tendance est négative sur une population donnée (les français, les demandeurs d’emploi, …), il peut parfois suffire de découper cette population en sous-groupes cohérents pour faire apparaître une tendance plus positive sur toutes les sous-populations.
Ne rendons pas le tableau plus noir qu’il ne l’est, et lorsque toutes les données ne sont pas disponibles, restons prudents et ne sacrifions pas la confiance sur l’autel de la facilité.

⁽¹⁾DARES : Direction de l’animation de la recherche, des études et des statistiques

References:
http://blogs.hbr.org/2014/10/when-it-comes-to-data-skepticism-matters
http://www.college-de-france.fr/site/stanislas-dehaene/course-2012-01-10-09h30.htm
http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/04/29/le-paradoxe-de-simpson/
http://radio-weblogs.com/0101454/stories/2002/09/16/spamDetection.html
http://homepages.ulb.ac.be/~sgutt/probastatistique.pdf

Pour ceux qui veulent aller plus loin :

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