Etape 1: La question et sa réponse

Question : j’ai suivi ta méthode permettant d’obtenir 1-1+1-1+1…=1/2. Je l’ai appliqué à la somme :
1+1+1+1+…=J
J’obtiens alors 1+J=J, soit 1=0.
Je ne comprends ce résultat. N’invalide-t-il pas ta méthode de démonstration ?

Réponse : c’est une excellente remarque qui met en lumière les raccourcis de la première démonstration. Toutefois, ce résultat n’invalide ni le résultat ni sa démonstration mais exige quelques explications.
Si l’on avait voulu faire les choses un peu plus sérieusement, on aurait d’abord expliqué ce qu’il faut à un « + » pour qu’il soit considéré comme une vraie méthode de sommation. Traditionnellement (je reviens dessus un peu plus tard), une méthode de sommation respecte trois propriétés :

• La linéarité : Cela veut dire que si  j’ai une série de termes An dont la somme vaut A (respectivement Bn dont la somme vaut B) alors la somme des termes An+λBn vaut A+λB.
• La régularité : c’est le fait que, pour toutes les sommes finies de nombres, la méthode de sommation coïncide avec la méthode usuelle de sommation (le «+» que l’on utilise depuis tout petit) (j’en parle dans mon premier billet).
• La stabilité : c’est le fait que l’on puisse toujours extraire un nombre fini de termes en début de série, de sorte que  ΣAn= (A0+A1+A2 + …+Ak) + ΣAn+k

En fait, dans la première démonstration de mon précédent billet, je fais une hypothèse implicite qui est :
« Supposons qu’il existe une méthode de sommation stable, linéaire et régulière permettant de sommer la série série (1,-1, 1, -1,…) alors… »
Puis j’utilise ces trois propriétés  pour obtenir finalement … A=1/2.
Cette hypothèse est valable pour la série (1,-1, 1, -1, 1,…) parce que d’autres l’ont démontrée avant moi. Cette série s’appelle d’ailleurs la série de Grandi et voici un article détaillé [ici] Du coup, lorsque vous obtenez 0=1 en utilisant cette démonstration pour la série 1+1+1+1+… vous démontrez (par l’absurde) qu’il n’existe pas de méthode de sommation stable, linéaire et régulière permettant de sommer la série (1,1,1,1,…).
D’ailleurs, en guise de remarque, si vous regardez les méthodes de sommation d’Abel, elles ne sont définies que pour des suites de réels positifs strictement croissantes tendant vers l’infini.
[Article ici]

Etape 2: Discussion sur les propriétés de la méthode de sommation permettant d’obtenir 1+2+3+…= -1/12

Un peu plus haut, je vous ai dit que les méthodes de sommation respectent traditionnellement les propriétés de régularité, linéarité et stabilité.
En fait, ces trois propriétés sont très lourdes à respecter et les scientifiques choisissent parfois de s’affranchir de certaines d’entre elles.
Ainsi certaines méthodes importantes, telles que la sommation de Borel ne sont pas stables…
De même, en analyse complexe, il arrive parfois que l’on abandonne les propriétés de régularité et de linéarité pour aboutir à des méthodes d’approximation plus puissantes, c’est notamment le cas de la méthode de l’approximant de Padé.
Et je ne vais pas vous le cacher plus longtemps, le « + » de notre somme 1+2+3+4+…=-1/12 ne respecte pas l’ensemble des trois propriétés énoncées plus haut.
Une façon simple de s’en convaincre est de regarder ce que vaut le prolongement analytique de Zêta en 0. Pour rappel, Zêta est défini comme: 

Pour s=0, il s’agit de notre somme 1+1+1+1+…

Et bien, alors que nous avions démontré ensemble plus haut qu’il n’existait pas de méthode de sommation linéaire, régulière et stable pour la série (1,1,1,1,…), le prolongement analytique de Zêta est, quant à lui, bien défini en 0 et vaut -1/2.
Et oui, 1+1+1+1+… = -1/2 (l’article wikipedia sur ce sujet : [ici])
En fait, la méthode de sommation utilisée pour trouver notre résultat -1/12 ne respecte pas au moins une des propriétés de linéarité, régularité et stabilité.

En réalité, l’on peut démontrer facilement que s’il existe une méthode de sommation applicable à la série (1, 2, 3, 4,…), elle est alors soit linéaire, soit stable (mais pas les deux).
En guise d’aveu, la méthode de régularisation de la fonction zêta évaluée en s=-1 (démonstration illustrée dans la section ‘pour aller plus loin’ de mon précédent billet) présente une méthode de sommation stable mais non linéaire… mais, disons le nous, cela n’enlève rien à son côté déroutant.

Et badaboum, la réponse est unanime : l’infini!
(Bon préparez vous à lever l’index et à afficher votre plus beau rictus)
Si je vous disais maintenant que 1+2+3+4+5+… = -1/12.

De quoi qu’on cause?

Ne vous y trompez pas, il ne s’agit pas d’une nouvelle arnaque où je planque discrètement une division par 0 dans mes calculs pour vous prouver que 1=0. Ce résultat est admis par la communauté scientifique et je vous invite à parcourir les références citées en bas de page pour vous convaincre que si quelque chose cloche encore à la fin de ce billet c’est que vous ne regardez probablement pas le problème avec le bon angle.
En fait, à bien y regarder, l’idée de dire que tous les infinis ne se « valent » pas n’est pas récente.
Dès le début du XXème siècle, un mathématicien allemand du nom de  Georg Cantor vient nous expliquer que les nombres réels (1, 2.335597, π ,…) sont plus « nombreux » que les nombres entiers.
L’idée à de quoi troubler… ces deux quantités sont infinies et l’infini c’est l’infini… non?
En fait, il existe un exemple qui illustre assez bien ce qu’a montré Cantor : le paradoxe de l’hôtel de Hilbert. Vous pouvez retrouver ce paradoxe amusant dans un autre de mes billets : L’hôtel de Hilbert – Y a -t-il quelque chose de plus grand que l’infini ?
Voyons maintenant comment l’on peut montrer simplement que la somme de tous les nombres entiers peut être égale à -1/12.

Explication (notions requises: addition et soustraction)

Etape 1 : regardons ensemble la somme 1-1+1-1+1-1+… admettons que son résultat puisse être défini et appelons le A:

Si on regarde à quoi ressemble 1-A, on s’aperçoit que l’on retrouve exactement la même série de 1 et -1 que ci-dessus. Les deux membres sont donc égaux et l’on peut en déduire A facilement.

Etape 2 : maintenant regardons la somme 1-2+3-4+… une fois encore admettons l’existence d’un résultat que l’on appellera B.

Toujours dans une infinie curiosité, regardons à quoi pourrait ressembler A+B puis -1+A+B

Une fois encore, on reconnait la série des termes de B avec toutefois un signe opposé. On a donc l’égalité suivante qui nous permet également de définir B (maintenant que l’on connait A).

Etape 3 :  Enfin regardons la somme qui nous intéresse 1+2+3+4+… et appelons son résultat C.
Plus précisément regardons la différence des résultats C-B.

En faisant un peu appel à nos souvenirs de primaire et à l’angoisse du tableau noir, on reconnait une série qui ressemble fort à la table du 4. On peut donc factoriser l’expression pour faire apparaître le terme 4xC, puis en déduire C (maintenant que l’on connait B).

Nous y voilà, l’égalité 1+2+3+4+5+…=-1/12
Pour celles et ceux qui ont levé le doigt dès le début de la démonstration, je vous donne rendez-vous tout en bas du billet dans le chapitre ‘pour aller plus loin’.

Bon ok, c’est quoi le truc?

En fait, derrière ce résultat paradoxal se cachent les fondements de ce qui est aujourd’hui considéré comme le plus grand problème mathématique jamais démontré: l’hypothèse de Riemann (2).
David Hilbert, une belle pointure en mathématiques, aurait à ce titre confié « si je devais m’endormir pendant 1000 ans, la première chose que je demanderai à mon réveil serait ‘l’hypothèse de Riemann a -t-elle été démontrée?' ».
Même si je pense qu’Hilbert en pareilles circonstances aurait d’abord demandé les toilettes, il est vrai que ce problème a fasciné des générations entières de mathématiciens, et pour cause, il flirte avec la partie la plus démoniaque des mathématiques: les séries divergentes (Mouhahaha…).
Le problème intellectuel lié à cette somme, c’est que l’on a du mal à considérer la somme des nombres entiers positifs comme un objet nouveau et totalement différent d’une somme gigantesque (mais finie) de nombres.
Pourtant le problème est bien là! Imaginons que je prenne la somme des entiers naturels allant de 1 jusqu’à un gogolplex(1), (un gogolplex c’est vraiment énorme, je vous invite à aller jeter un coup d’oeil à la note de fin de page). Et bien même cette somme, aussi immense soit-elle, n’est pas du tout comparable à la somme des entiers positifs. Ces deux sommes sont de natures complètement différentes, cela revient à comparer un choux avec une mangouste… et c’est là dessus que repose le côté paradoxal du résultat -1/12.
Je m’explique, depuis votre tendre enfance on vous a défini l’addition comme l’opérateur vous permettant de calculer les bonbons que vous aurez quand Jacques et Paul vous auront filé les leurs. Cette définition avait l’avantage de combiner l’enseignement des mathématiques et de l’altruisme, mais a le fâcheux inconvénient de très mal s’appliquer à des objets mathématiques un peu particuliers: les sommes infinies de nombres.
En d’autres termes, le signe « + » que j’ai utilisé plus haut n’est pas celui que vous connaissez, ou plus exactement il est plus que ça!
On y vient.
Puisque je n’arrive manifestement pas à définir un résultat lorsque le nombre de termes de mon addition est infini, je vais devoir définir un opérateur qui me le permettra mais qui correspondra aussi exactement à mon opération « + » (celle de Jacques et Paul) lorsque le nombre de termes de mon addition est fini.
C’est ce que nous avons tacitement fait dans la démonstration ci-dessus et ce qui est fait plus explicitement dans le chapitre ‘pour aller plus loin’.

Ok mais ça veut dire quoi ce résultat, concrètement?

A ce moment précis, vous vous dites surement « super, encore un délire de mathématicien ».
Pas faux, mais comme bien souvent dans l’histoire, les mathématiciens fabriquent des objets théoriques puis les physiciens piochent dans ces boîtes à outils pour résoudre des problèmes bien réels.
Et le fait est, qu’ici encore, la physique a trouvé des applications effectives au résultat évoqué plus haut.
Pour ceux qui n’en aurait jamais entendu parler, l’effet Casimir prévoit que deux plaques conductrices placées dans le vide s’attirent mutuellement.
Cette force attractive, expliquée par les fluctuations quantiques du vide, a tenté d’être calculée par ce bon Casimir.
Sans rentrer dans les détails, la difficulté admise de ce calcul réside dans le fait que si vous admettez que le vide possède une énergie, dès lors vous vous retrouvez avec des sommes infinies.
Vous pouvez finalement vous extraire de cette passe difficile avec le résultat

Mais comble de l’ironie mathématique (je viens de l’inventer celle là), en 1997 le chercheur Steve Lamoreaux publia dans Nature les résultats de son expérience qui venaient valider les calculs de Casimir effectués 50 ans plus tôt.
Pour plus de détail sur ces calculs, allez jeter un oeil à la partie ‘pour aller plus loin’

Conclusion – s’extraire du système 

En fait, vous ressentez probablement aujourd’hui la même chose que moi le jour où j’ai appris au lycée qu’il existait une solution à l’équation:alors qu’on m’avait bien dit jusqu’alors que tous les nombres carrés étaient positifs!!!
Le sentiment d’incompréhension et de vertige lorsque vous êtes dans une chambre, qu’on vous ouvre une porte (pour moi celle des nombres complexes, pour vous celle des opérations sur les séries divergentes) et que tout d’un coup, par le biais d’un passage dans cette nouvelle pièce mystérieuse vous réalisez que vous pouvez accéder à d’autres coins de votre chambre qui vous étaient jusqu’alors inaccessibles sinon inconnus.
Ce point est joliment illustré dans le roman FlatLand de Edwin Abbott Abbott.

L’histoire, qui se déroule dans un monde plat (ie en 2 dimensions), nous raconte comment l’un de ses habitants (un carré), voyant un jour apparaître une sphère, va tenter de convaincre ses congénères de l’existence d’une troisième dimension spatiale.
Le roman est écrit à la première personne et l’on suit le point de vue du carré. On nous explique notamment que dans ce monde plan, où seuls deux dimensions existent, la lumière est présente partout même à l’intérieur des habitations pourtant complètement fermées. Les habitants ne comprennent pas d’où vient cette lumière car elle vient d’en haut et donc d’une dimension qu’ils ne peuvent pas percevoir. Je trouve amusant le parallèle que l’on peut tracer avec ce que l’on appelle aujourd’hui l’énergie sombre (ou énergie noire) qui est une forme d’énergie emplissant uniformément tout l’univers et dont l’origine reste encore mystérieuse (un peu comme la lumière baignant uniformément FlatLand).
Alors je sais, comme ça, ça sonne un peu ésotérique, mais c’est super court et ça se lit bien.
Alors si maintenant, comme moi, vous vous sentez animé d’une foi indéfectible en l’ignorance humaine, n’oubliez pas ce que ce bon Albert disait: « ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible ». [« Comment je vois le monde » A.Einstein 1934]

(1) un gogolplex: c’est 10^gogol… et un gogol c’est 10^100.
On estime que le nombre de particules dans l’univers est 10^20 fois inférieur à un gogol.
Ainsi, si un gogol peut s’écrire comme un 1 suivi de 100 zéros derrière.
Le gogolplex, quant à lui, ne peut tout simplement pas s’écrire!! en effet même si j’arrivais à écrire des zéros de la taille d’une particule physique, il me faudrait un peu plus de 100 milliards de milliards d’univers pour pouvoir tous les écrire. De quoi donner le vertige, non?
(2) L’hypothèse de Riemann définit la fonction ζ (prononcé zêta) comme :

Avec s : un nombre appartenant à l’ensemble des nombres complexes privé de 1 (pour la définition de la fonction sur l’ensemble des complexes à partie réelle négative voir le chapitre ‘pour aller plus loin’).

Remarquons que notre égalité peut alors s’écrire ζ(−1)=-1/12, on remplace dans la fonction ci-dessus les s par -1.
L’hypothèse de Riemann conjecture alors que cette fonction s’annule uniquement pour :
(i) des nombres réels négatifs paires (eh oui  ζ(−2)=0!); et 
(ii) pour des nombres complexes avec une partie réelle égale à 1/2. Si l’on se figure un nombre complexe comme un point à deux coordonnées sur un plan, cela veut dire qu’à droite de l’axe des ordonnées, la fonction zêta ne s’annule que sur une droite verticale d’équation x=1/2.
C’est cette deuxième partie (ii) que les mathématiciens n’ont toujours pas réussi à démontrer.

Et si les scientifiques s’acharnent à démontrer ce problème, c’est que sa résolution permettra de résoudre bien d’autres problèmes actuellement ouverts en mathématiques ou en physique (répartition des états d’énergie d’un atome, répartition aléatoire des nombres premiers,…). 

Anecdotiquement, l’hypothèse de Riemann nous a déjà démontré que l’on est pas obligé de savoir de quoi on parle pour publier dans un grand quotidien.  En effet, en 2004, un journaliste du Guardian nous expliquait que la démonstration de la conjecture de Riemann nous guiderait vers un cataclysme Internet [ici]. L’idée, reprise par d’autre depuis, fait référence aux modes de cryptage reposant sur la difficile factorisation des nombres premiers… Or l’hypothèse de Riemann, si elle était démontrée, expliquerait justement que les nombres premiers sont répartis aléatoirement au sein des entiers… Je ne vois pas vraiment comment le fait de savoir que les nombres premiers sont répartis aléatoirement pourra aider un hacker à factoriser un nombre premier.

Références:
Autres articles sur le sujet:
1.Article vraiment bon et accessible:
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
2.Une petite vidéo du génial Mickaël Launay:
https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U
Fonctions zêta:
3.Prolongement analytique de zêta sur l’ensemble des complexes privé de 1:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Extension_.C3.A0_.E2.84.82-.7B1.7D
4.Un traitement plus arithmétique de la fonction zêta:
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups02-02.pdf
5.Un article plus général sur les travaux de Riemann et son prédécesseur Euler:
https://jfresan.files.wordpress.com/2011/04/lecture-de-riemann.pdf
Nombre de Bernouilli:
6.http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Bernoulli
Effet Casimir:
7.http://www.scholarpedia.org/article/Casimir_Force
8.http://www.larecherche.fr/savoirs/physique/force-qui-vient-du-vide-01-06-2004-88969

Pour aller plus loin (déconseillé à ceux qui n’aiment pas les formules)

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