Il existe deux façon de définir une notion. La première est de décrire ce qu’elle est, la seconde, bien sûr, est de décrire ce qu’elle n’est pas, et c’est de cette manière qu’est introduit le concept d’infini (à l’instar d’autres notions comme « indéfini » ou « incompréhensible »). Pourtant ce mot hétérologique [2] ,souvent retrouvé en philosophie, métaphysique ou théologie, n’a pas toujours trouvé son pendant mathématique. Descartes niait d’ailleurs l’existence d’un infini mathématique, lui reprochant notamment de décrire une vérité inaccessible à nos pauvres esprits finis.
Et, logiquement,  lorsque Cantor créa sa théorie autour de l’infini mathématique, il s’attaqua vite aux conclusions cartésiennes, leurs préférant l’analyse de Spinoza pour qui il est absurde de concevoir l’entendement humain comme quelque chose de fini.
Finalement, quand Georg Cantor débarque en 1875 avec une théorie des ensembles toute neuve intégrant l’infini comme une entité mathématique propre, on ne l’accueille pas avec des cotillons et des langues de belle–mère.
Et pourtant… la théorie des ensembles de Cantor va marquer définitivement notre entrée dans l’ère des mathématiques modernes et avec elle va venir la conviction que tous les infinis ne se valent pas, certains étant manifestement plus grands que d’autres.

Le premier soir un nouveau client arrive à l’hôtel et semble déçu à la lecture de la note d’information affichée au dessus du comptoir.

Note d’information : Nous informons notre aimable clientèle que, victime de son succès, toutes les chambres de l’hôtel sont occupées pour la nuit.

Pourtant le gérant de l’hôtel se veut rassurant et propose vite une solution au nouvel arrivant. Il prend alors son microphone et s’adresse à l’ensemble de l’hôtel par le biais de hauts-parleurs.
Il demande alors à tous ses clients de bien vouloir changer de chambre pour se déplacer vers la chambre avec un numéro immédiatement supérieur à la leur, de sorte que le locataire de la chambre n aille dans la chambre n+1.
Ainsi, à la fin de l’opération la chambre 1 est disponible et peut accueillir notre nouveau client.

Plus tard dans la soirée, ce n’est plus un client qui arrive au comptoir mais un bus avec une infinité de clients numérotés C1, C2, C3,… jusqu’à l’infini.
Pourtant, une fois encore, le gérant reste calme. Avec le même flegme, il prend alors son microphone et demande à ses clients de changer une nouvelle fois de chambre. Chaque client devant se rendre dans la chambre ayant un numéro deux fois supérieur à la sienne. De sorte que le client de la chambre n se trouve alors déplacé dans la chambre 2n.
L’ensemble des chambres impaires se retrouvent alors libérées pouvant alors accueillir les nouveaux arrivants de telle sorte que l’arrivant Cn aille dans la chambre 2n-1.

Encore plus fort…
Le lendemain, tous les clients ont quitté l’hôtel. Mais le soir venu, ce n’est pas un bus qui arrive mais une infinité de bus (numérotés B1, B2, B3,…) contenant chacun une infinité de passagers (numérotés Ck-1, Ck-2,Ck-3,… avec k le numéro du bus dans lequel le client se trouve assis)
Et devinez quoi? Une fois encore le gérant de l’hôtel, placide, semble avoir la solution pour héberger tout ce petit monde.
Il demande alors au client C1-1(premier client du premier bus) d’aller dans la chambre 1, puis aux clients C1-2 et C2-1 d’aller respectivement dans les chambres 2 et 3.
En fait, il demande à chaque client Ck-j de se diriger dans la chambre numéro :

A travers ces exemples, l’hôtel de Hilbert nous montre que deux ensembles tels que l’un est strictement inclus dans l’autre peuvent toutefois avoir un même nombre d’éléments (en mathématiques on dit qu’ils sont alors équipotents).
Et ça, ça a pas mal troublé les mathématiciens de l’époque car cette proposition est complétement fausse pour les ensembles finis… et oui, si votre hôtel (qui n’est pas un hôtel avec un nombre infini de chambres) a toutes ses chambres d’occupées… et bien c’est marre, il ne pourra pas vous accueillir (voir le principe des tiroirs de Dirichlet [3]).

Enfin le dernier soir, c’est un bus un peu particulier qui se présente devant l’hôtel. Le bus contient bien une infinité de passagers mais ces derniers ne sont pas disposés comme les bus précédents. En effet, les sièges semblent infiniment resserrés et au lieu d’être numérotés par des nombres entiers (1,2,3,…), les places sont numérotées par tous les nombres réels existants entre 0 et 1 (on y retrouve entre autres 0; 1; 0,5; √2/2; π/5; 0,9999999; etc…).

Et pour la première fois depuis son ouverture, le gérant de l’hôtel est nerveux. Après quelques minutes passées à se mordiller la lèvre inférieure, il décide, contrarié, de monter à bord du bus pour annoncer à ses passagers qu’il ne pourra pas tous les accueillir à l’hôtel.

Pour montrer que, n’en déplaise à Mlle Bille-en-tête, l’hôtel de Hilbert ne peut pas accueillir ce bus magique, nous allons utiliser un classique des mathématiques : le raisonnement par l’absurde. Nous allons voir que si l’hôtel pouvait accueillir tous les passagers de ce bus, cela nous mènerait à un non-sens.
En effet, imaginons que l’hôtel accueille tous les passagers, nous aurions par exemple:

Prenons maintenant le passager possédant le numéro construit de sorte que sa nième décimale soit toujours égale à la nème décimale du locataire de la chambre n.
Dans notre exemple, son numéro commencerait par 0,4328…

Maintenant prenons chaque décimale de ce nombre et ajoutons lui +1, de sorte que notre numéro se transforme de cette manière sur toutes ses décimales:
0,4329 → 0,5430…
Alors, nous pouvons affirmer que le client correspondant à ce nouveau nombre n’est pas logé à l’hôtel car si il l’était dans une chambre n, sa nième décimale sera différente de celle que nous avons du recenser lorsque nous avons fait le tour des chambres quelques lignes plus haut.

Références:
Pour la partie philo:
http://www.jbjv.com/La-prudence-de-Descartes-face-a-la.html
http://www.spinozaetnous.org/ftopic-255-20.html
Une vidéo très bien faite sur le sujet:
https://www.youtube.com/watch?v=N_cDA6tF-40

Sans plus attendre donc, retrouvons ce que vos verres d’alcool peuvent encore contenir de plus étonnant.

Pastis ou Ricard? voilà un sujet clivant s’il en est… loin devant ces bisbilles chastes sur la religion ou l’interdiction de la GPA. Mais que les aficionados du consensus se rassurent, aujourd’hui nous n’allons pas parler goût mais couleur.
Plus exactement, nous allons voir comment en ajoutant un liquide transparent (l’eau) à un autre liquide transparent (le Pastis), nous obtenons toujours un liquide blanc et opaque. Cette opération consistant à troubler un alcool avec de l’eau s’appelle le louchissement (‘fallait au moins inventer un mot pour ça!), on le retrouve également avec l’absinthe ou le ouzo.

Et ce qui va justement nous intéresser, ce sont ces huiles. Car si l’huile n’est pas soluble dans l’eau (gros gros scoop!), en revanche elle l’est dans l’alcool (et votre nez nous en remercie car c’est grâce à ça que l’on créé des parfums). Du coup, dans un mélange contenant 45% d’éthanol, ces huiles essentielles acceptent de se dissoudre intégralement. Notez bien que les huiles présentes dans le Pastis ou le Ricard pur sont complètement transparentes, en fait la couleur légèrement ambrée du Pastis pur est donnée par une faible quantité de colorant (souvent du caramel).
Lorsque vous allongez votre Pastis avec de l’eau, ces huiles essentielles ne sont plus solubles dans ce nouveau liquide contenant trop d’eau pour elles. Les molécules se rassemblent alors sous forme de micelles. On obtient alors des micro-gouttelettes d’huiles au milieu de l’eau et de l’alcool, ce qui donne à votre boisson cet aspect laiteux.

Ok mais pourquoi cet aspect blanc lait? l’huile, c’est pas blanc que je sache…

C’est pas faux. Mais si le Pastis allongé est blanc, il l’est au même motif que le lait, le brouillard ou les nuages : grâce la diffusion de Mie.
La diffusion de la lumière est une propriété propre aux fines particules de matière leur permettant de disperser la lumière reçue dans toutes les directions et ce sans perte d’énergie.
Les gouttelettes d’huile contenues dans notre pastis allongé sont à peine plus grandes que la longueur d’onde de la lumière visible (de l’ordre du micromètre). Dans cette configuration, les gouttelettes dispersent toutes les longueurs d’onde dans toutes les directions et produisent donc cette lumière blanche caractéristique du lait (qui également une émulsion de corps gras dans l’eau). Ce phénomène s’appelle la diffusion de Mie.

Le saviez-vous?

Il existe un autre phénomène de diffusion qui apparaît lorsque les particules de matière sont cette fois petites devant la longueur d’onde de la lumière. Ce phénomène s’appelle la diffusion de Rayleigh et, contrairement à la diffusion de Mie (qui ne privilégie pas de longueur d’onde particulière), la lumière diffusée à cette fois une intensité d’autant plus grande que la longueur d’onde du rayon incident est petite (c’est une loi en 1/λ⁴).
Les couleurs avec une longueur d’onde faible auront donc tendance à être plus diffusées.

Bonus Track & DVD – Une petite expérience pour l’apéro

Si vous voulez frimer à l’apéro, dîtes à vos amis que vous pouvez faire revenir leur Pastis à l’état transparent, le tout sans ajouter d’eau.
Pour cela, ajoutez un peu de liquide vaisselle dans le Pastis et laissez la magie opérer.

On savait déjà les irlandais peu enclins au conformisme. C’est vrai, ils n’utilisent pas le système métrique, roulent à gauche et ne se servent même pas de leurs mains pour marquer des buts.
Et bien, leur bière n’échappe pas à la règle. Alors que les bulles de toutes les bières semblent monter dans le verre, la Guinness, quant à elle, produit des bulles qui préfèrent descendre au fond du verre.

Ce phénomène, baptisé sobrement ‘effet cascade Guinness’, n’a d’abord longtemps qu’animé les débats de comptoir, mais en 2012 un groupe de scientifiques irlandais prennent le sujet en main et rédigent un papier de 5 pages sur le sujet [ici].
En résumé ce phénomène s’explique en deux points:

La question à 1000 livres: pourquoi ces flux convectifs varient-ils donc d’une forme de verre à l’autre?

Et bien tout d’abord, il faut comprendre que le mouvement de liquide dans un verre est la conséquence de la force de traînée produite par les bulles qui remontent.
Les cyclistes connaissent bien cette force provoquée par un objet en mouvement dans un fluide lorsqu’ils choisissent de se mettre juste derrière un autre vélo pour bénéficier de cette traînée.
En d’autres termes, lorsqu’une bulle se déplace, elle va avoir tendance à entraîner du liquide avec elle.
Ensuite, il faut comprendre que dans un verre évasé (comme dans une pinte), les bulles seront moins présentes près des parois du verre. Ce phénomène s’appelle l’effet Boycott, du nom du biologiste qui a découvert en 1920 ce phénomène assez intuitif en étudiant la sédimentation des globules rouges dans une éprouvette.

Les bulles étant ainsi moins nombreuses sur les parois, la force de traînée dirigée vers le haut sera plus importante au centre du verre. Le liquide aura donc tendance à remonter au centre du verre puis ‘par  aspiration’ à descendre le long des parois.

Rhum – une histoire d’odeur

Si on vous demande en soirée quel est votre alcool préféré, voici une réponse qui vous permettra de cabotiner un peu.
Sachez que si vous aimez le rhum, vous partagez sans doute ça avec le tout puissant. En effet, voilà quelques années que les scientifiques étudient la composition chimique de notre galaxie, et notamment celle de la nébuleuse d’Orion qui a la particularité d’être relativement proche et facile à observer (on peut d’ailleurs l’observer avec une bonne paire de jumelles).
Or les études spectroscopiques menées ont permis de mettre en évidence la présence de molécules organiques dans notre univers dont le fameux formiate d’éthyle connu pour donner son odeur caractéristique au rhum.
Enfin, parmi la centaine de molécules organiques détectées à ce jour ne figure toutefois pas encore la molécule de Carvone (confiant son odeur à la menthe).
Donc si notre galaxie a manifestement l’odeur du rhum, elle ne baigne malheureusement pas dans les effluves d’un mojito céleste…

Références:
Pour le Pastis:
http://www.uzeb.com/temp/emulsion.pdf
http://wiki.scienceamusante.net/index.php?title=Trouble_et_d%C3%A9trouble_du_Pastis
http://www2.ac-toulouse.fr/ai-gers/ENSS/spip.php?article187
https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/07/09/la-physico-chimie-du-pastis/
Les phospholipides:
https://sites.google.com/site/tensioactifststan/les-tension-actifs-et-la-biologie/biologie-et-tensioactif
Pour la diffusion de la lumière:
http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doschim/decouv/couleurs/loupe_diff_lumiere.html
http://vercors-net.com/dossiers/sciences/couleurs.html
Pour la Guinness:
http://arxiv.org/pdf/1205.5233v1.pdf
Pour le rhum:
https://sciencepourtous.wordpress.com/2012/01/13/lunivers-aurait-un-gout-de-framboise-et-une-odeur-de-rhum/
https://sciencepourtous.wordpress.com/category/general/
Autres articles sur la science et l’alcool:
Whisky et essais nucléaires anglais:
http://sciences.blog.lemonde.fr/2009/05/05/les-essais-nucleaires-aident-a-dater-le-whisky/
Absynthe et le mystère de l’altération de l’esprit
http://www.livescience.com/2504-absinthe-mind-altering-mystery-solved.html

Sources photos:
Flux Guinness:
http://arxiv.org/pdf/1205.5233v1.pdf
La nébuleuse d’Orion:
http://fr.wikipedia.org/wiki/N%C3%A9buleuse_d%27Orio
n

Vodka – une histoire de goût

Pas besoin d’être un chimiste établi pour savoir qu’au pays des alcools forts, la vodka fait consensus. Sans odeur, sans goût, la petite eau (traduction littérale de vodka) se marie avec à peu près tout.
Et c’est bien normal, puisque toutes les vodkas sont composées exclusivement d’un mélange

Je vois déjà les amateurs de Grey Goose ou de Beluga faire la moue, jurant que toutes les vodkas ne se valent pas… Et c’est bien ce qui a intrigué un groupe de chercheurs russes et américains qui se sont mis en tête de trouver ce qui pouvait motiver la préférence de certains consommateurs pour une marque plutôt qu’une autre.
Pour cela, les chercheurs se sont intéressés aux travaux d’un certain Dmitri Mendeleïev (oui, oui celui du tableau périodique).
Souvent reconnu pour son travail sur la classification des éléments, le professeur Mendeleïev n’en était pas moins un homme aux multiples facettes, un genre de couteau suisse humain à la fois inventeur, poète, maroquinier, aéronautes, … Au tableau (oh oh) de ces nombreux exploits, on lui attribue souvent l’invention de la vodka.
C’est en effet au cours de sa thèse que Mendeleïev s’est aperçu que des composés (des genres de grappes de molécules) appelés « hydrates d’éthanol » se formaient dans des solutions contenant 40% d’éthanol et 60% d’eau.

L’étude des chercheurs [disponible ici] semble indiquer que la proportion de ce composé « hydrate d’éthanol » varie d’une marque à l’autre et pourrait bien être responsable des nuances de goût ressenties par certains consommateurs (sans dire s’il en faut beaucoup ou au contraire s’il en faut moins).
Ci-dessous, une répartition des marques de vodka étudiées en fonction de la proportion d' »hydrate d’éthanol » relevée (les marques les plus en bas sont celles contenant le plus ce composé et donc s’éloignant le plus d’un mélange pur éthanol/eau).

Alors là, attention. On touche au patrimoine français. Alors qu’on se le dise haut et fort, comprendre et transmettre ce qui va suivre relève de l’acte citoyen.

La bulle emprisonnée dans la fibre de cellulose va donc absorber le gaz carbonique environnant (dissous dans le champagne) et grossir jusqu’à atteindre un taille critique l’amenant à se dégager de la fibre. La magie, c’est qu’elle laisse toujours derrière elle une petite bulle capable d’amorcer une nouvelle fois le processus.

Ces répliques sont extraites du long-métrage d’Alain Resnais « l’année dernière à Marienbad ». Elles introduisent un scène marquante du film, où l’on voit deux hommes jouer à un jeu mystérieux où l’un des deux protagonistes semble battre perpétuellement son adversaire, impuissant, parties sur parties [extraits ici].
Les jeux avec une stratégie ‘gagnante à tous les coups’ semblent être légion, j’en ai pour exemple la dernière énigme que je vous ai soumise [pour rappel, c’est ici]. Toutefois, on peut facilement passer sa vie à les côtoyer sans savoir les reconnaître par avance.
Mais parce que l’anticipation n’est pas seulement l’apanage du mathématicien, à la fin de ce billet vous aurez les clés pour reconnaître simplement si le jeu auquel vous vous apprêtez à jouer possède une stratégie gagnante (qui d’ailleurs pourrait peut-être déjà être connue par votre adversaire…).

Dans la théorie des jeux, la théorie des jeux combinatoires fait figure de socle. Une théorie fondamentale sur laquelle toutes les autres ont pu s’appuyer (de la modélisation de la dissuasion nucléaire à la théorie économique des enchères).
Au sein de cette théorie féconde, un théorème se distingue par son originalité et sa nature tangible: le théorème de Sprague-Grundy.
Pour bien comprendre la portée de ce théorème, il faut d’abord comprendre le contexte. Nous sommes dans les années 30 et voilà presque 30ans que le mathématicien Charles Bouton a résolu un jeu très ancien appelé « jeux de Nim classique » ou depuis le film de Resnais « jeu de Marienbad ». Par « résoudre » j’entends qu’il a trouvé un algorithme permettant d’assurer une victoire certaine au joueur, pour peu que ce dernier se trouve dans une position dite ‘gagnante’.

Jeu de Nim classique ou jeux de Marienbad

Pour l’anecdote, le « jeu de Nim classique », popularisé par le film de Resnais, en a pris le nom mais initialement Marienbad est le nom d’une ville tchèque dans laquelle la belle Delphine Seyrig aurait eu une aventure avec l’un des personnages du film.
Dans le film, le jeu est simple. Sur une table sont disposées 4 rangées de 1,3,5 et 7 allumettes.

Généralisation et théorème de Sprague-Grundy

Chacun leur tour, les joueurs prennent le nombre d’allumettes qu’ils veulent, au moins une et dans une même rangée. Le joueur qui prend la dernière allumette a perdu (le film présente la version du jeu dite « misère »). A noté que dans la version « normale » du jeu, le joueur prenant la dernière allumette est considéré comme vainqueur.
Charles Bouton nous explique alors que dans ce jeu, les positions dans lesquelles peuvent se retrouver les tas d’allumettes se répartissent en deux groupes [les positions gagnantes et les positions perdantes].
Ainsi, selon la configuration au départ du jeu, l’un des joueurs aura une position gagnante, l’autre non. Si le joueur ayant hérité de la position gagnante effectue les bons coups, il gagnera à coup sûr et l’adversaire ne pourra que subir fatalement sa défaite. En revanche, au moindre mauvais coup, le joueur ayant hérité de la position gagnante pourra perdre son monopole, et son adversaire, s’il joue les bons coups, pourra reprendre le contrôle de la partie.
C’est d’ailleurs bien dans cette notion de positions gagnantes et perdantes que la réplique « je peux perdre mais je gagne toujours » prend tout son sens. L’homme ne démarrant pas systématiquement dans une position gagnante: « il peut perdre », toutefois son adversaire ne connaissant pas la stratégie gagnante (que je vous présente plus bas), il finira toujours par se retrouver dans une position gagnante et donc « gagne toujours ».
En 1930, on pouvait donc naturellement penser que Bouton avait fait le job. C’était sans compter sur deux mathématiciens: Roland Sprague (allemand) et Patrick Grundy (britannique) qui , respectivement en 1935 et 1939 vont démontrer indépendamment (oui à cette époque, les échanges scientifiques entre les deux pays étaient un peu dégradés) que la théorie de Bouton peut se généraliser à l’ensemble des jeux impartiaux.

Maintenant, retenez donc ce qui va suivre car tout jeu impartial possède une stratégie gagnante à coup sûr dès lors que le joueur se retrouve dans une position gagnante.
Un jeu impartial est définit comme suit:

   1.  Méthode théorique générale – les moins courageux pourront esquiver cette partie

Pour simplifier un peu la chose, nous n’allons pas jouer à la version « misère » comme dans le film d’Alain Resnais, mais à la version « normale » (ie que le joueur prenant la dernière allumette a gagné).

Etape 1 : Trouver les nimbers

La notion de nimber, juste contraction des mots ‘Nim’ et ‘number’, est un pilier de la théorie des jeux combinatoire. Un nimber désigne un ‘jeu de Nim à un seul tas’ (par opposition au 4 tas d’allumettes décrits plus haut) mais par extension on appelle également nimber, un nombre entier caractéristique d’une position donnée pour un ‘jeu de Nim à un tas’. [Remarque; le nimber est aussi parfois appelé ‘nombre de Grundy’ ou ‘nimbre’ pour les anglophobes].
Dans le cas du jeu de Marienbad du film de Resnais, il y a quatre tas d’allumettes donc quatre nimbers. Reste à voir comment calculer ces nimbers.
Le nimber d’un tas se définit alors comme ce qui suit:

• Le nimber de la position finale vaut 0
• Le nimber d’une position donnée est définit comme le plus petit entier naturel (ie positif ou nul) n’apparaissant pas dans la liste des nimbers des positions pouvant suivre immédiatement cette position.

Alors comme ça… ça peut sonner un peu cabalistique mais avec des exemples tout est plus clair:
Pour un tas de 0 allumette: le nimber est 0 (cf définition).
Pour un tas de 1 allumette: le nimber est 1. Lorsqu’il ne reste qu’une allumette, je n’ai pas le choix : je vais enlever une allumette et la position suivante sera un tas de 0 allumette. La liste des nimbers des positions suivantes est donc {0}.
Le plus petit entier positif n’appartenant pas à la liste {0}, c’est bien 1.
Pour un tas de 2 allumettes: le nimber est 2. Lorsqu’il reste deux allumettes, je peux soit choisir d’en retirer une, soit deux : la positions suivantes possibles sont « un tas de 0 allumette » ou « un tas de 1 allumette ». La liste des nimbers des positions suivantes possibles est donc {0,1}.
Le plus petit entier positif n’appartenant pas à la liste {0,1}, c’est bien 2.
Dans le cas du jeu de Marienbad, les nimbers correspondent donc aux nombres d’allumettes de chaque tas (facile!)

Remarque: Imaginons que nous soyons dans une émission de télévision grand publique et que je porte un masque à tête de tigre (grrrr). J’aurais alors pu rajouter la règle « chaque joueur ne peut enlever que 1,2 ou 3 allumettes » dans ce cas:
Pour les tas de 0,1,2 et 3 allumettes, tout marche pareil, mais c’est après que les nimbers changent un peu.
Pour un tas de 4 allumettes, la position 0 allumette ne peut pas être atteinte (je ne peux retirer que 3 allumettes au maximum). La liste des nimbers des positions suivantes sera donc {1,2,3} et le plus petit entier naturel n’appartenant pas à cette liste c’est 0.
Pour un tas de 5 allumettes, le nimber est  1
6 allumettes: le nimber est 2 …
et ainsi de suite.
Pour un tas de n allumettes, le nimber est donc définit comme le reste de la division euclidienne du nombre d’allumettes du tas par 4.

Etape 2 : Chercher à annuler la somme de Nim des nimbers

Et maintenant on fait quoi avec nos nimbers?
Et c’est là que Sprague et Grundy interviennent. En effet, le théorème de Sprague-Grundy nous explique que tout jeu impartial peut être transformé en un « jeu de Nim à un tas » équivalent possédant un nimber propre à chacune de ses positions. Pour le cas du jeu de Marienbad (Bouton l’avait déjà démontré), le nimber global du jeu peut s’obtenir en faisant la somme de Nim des différents nimbers.
Une fois cet unique nimber obtenu et propre à chaque position du jeu.

La stratégie gagnante (pour la version ‘normale’) consistera toujours à agir sur le jeu de manière à annuler ce nimber global.

Donc comme nous l’avons dit, pour le jeu de Marienbad, ce nimber s’obtient en faisant la somme de Nim des nimbers des différents tas.
Pour effectuer cette opération un peu spéciale, il faut commencer par passer tous nos nimbers en binaire.
Alors, pour rappel, écrire un nombre en binaire c’est décomposer ce nombre en une somme de puissances de 2.
L’astuce pour convertir facilement un nombre décimale en binaire consiste à le diviser plusieurs fois par 2 et regarder le reste Euclidien de chacune de ces divisions (cf figure 3, ci-contre).
Une fois nos quatre nimbers passés en binaire, il faut les sommer un à un avec les règles suivantes (les informaticiens reconnaîtront une somme XOR):

• 0+0=0
• 1+1=0
• 1+0=0+1=1

Dans notre cas précis, notre somme est égale à 000

Et comme l’objectif poursuivit par une stratégie gagnante est de toujours faire passer cette somme de Nim à 000, on constate donc que la position initiale est une position perdante. En effet, puisque la somme de Nim est déjà égale à 0, toute action de jeu la fera varier vers un résultat différent de 000 (c’est pas moi qui le dit, c’est Bouton!).

 

Mise en application:

Imaginons que votre adversaire joue en premier, vous êtes donc dans une position gagnante…

Si vous vous appliquez, votre adversaire n’a aucune chance de gagner. Votre adversaire prend deux allumettes dans la pile de 7  allumettes. La nouvelle configuration est donc : 4 rangées de 1,2,5 et 5 allumettes.
La somme de Nim est alors de 010.
Il vous faut donc refaire passer cette somme à 000. Pour cela vous pouvez retirez deux allumettes au tas de 3 allumettes.

Et si je vous disais que nous n’êtes pas obligé de faire toutes les conversions décimales-binaires décrites dans la méthode théorique et que, comme Néo devant une cascade de nombres tout droit sortis de la Matrice, vous pourriez bien voir et travailler directement en binaire sans vous en rendre compte.

Pour cela, pour chaque rangée d’allumettes, essayez de regrouper mentalement vos allumettes par groupe de 4, 2 et 1 allumette en essayant de n’avoir qu’un groupe de chaque maximum par rangée. Pour cela, essayez d’abord de construire vos groupes de 4, puis vos groupes de 2 et enfin seulement vos groupes de 1 avec les allumettes restantes.

Les regroupements ne sont plus présents en nombres pairs. [3 regroupements de 1 allumette, 3 regroupements de 2 allumettes et 1 regroupement de 4 allumettes]. Vous allez devoir remédier à ça.

Voilà, tout ça sans une conversion en nombre binaire!

Quiconque a déjà shooté dans un ballon sait que, pour courber la trajectoire du ballon, il est important de bien « brosser » sa frappe. Brosser sa frappe consiste simplement à frapper le ballon sur le côté afin de lui communiquer un mouvement de rotation sur lui même, un peu comme si on le faisait avec les poils d’une brosse en fait.

La démonstration la plus souvent utilisée pour décrire ce phénomène fait appel à la plus fondamentale des lois de la mécanique des fluides. Dans ce modèle, on invoque en outre régulièrement l’effet Magnus, du nom de son papa : un physicien allemand du XIXème siècle, né sans doute trop tôt pour avoir un jour shooté dans un ballon de football.
Pour comprendre ce phénomène vous devez admettre deux choses:

L’écoulement est symétrique par rapport à l’axe de la trajectoire de la balle, l’air s’écoule à la même vitesse  sur toutes les faces du ballon, il n’y a donc pas de différentiel de pression.
Maintenant si vous recommencez votre frappe en la brossant (ie en confiant au ballon un mouvement de rotation sur lui même)

L’air va accélérer sur l’un des côtés du ballon (lorsqu’il va dans le même sens que la surface) et va freiner sur l’autre côté du ballon lorsqu’il est opposé au mouvement de rotation de la surface. Ceci s’explique par les frottements que rencontre l’air avec la surface de notre ballon.
Dans cette situation, la vitesse est plus élevée sur l’un des côtés du ballon. Dans notre exemple, la pression sera donc plus faible sur la face gauche du ballon et sa trajectoire aura donc tendance à se courber vers la gauche.

On aurait presque pu s’arrêter là… (et d’ailleurs les lecteurs impatients le feront) mais c’était sans compter sur le retour du soleil et le souvenir chaque jour plus présent de ce maudit ballon de plage. Ce ballon qui a toujours choisi de prendre la courbure inverse quand je tentais vainement de l’enrober vers une lucarne imaginaire.
Alors pourquoi nos plus beaux effets ne marchent-ils pas à la plage?
Tout d’abord, non ce n’est pas qu’une question de vent, essayez en intérieur, le constat est le même.
Pour comprendre l’inversion du phénomène, il va falloir d’abord se résoudre à aller un peu plus loin dans la description de l’écoulement de l’air autour du ballon, l’équation de Bernoulli (relation vitesse-pression) ne suffisant manifestant plus à décrire ce que nous observons.
En fait nous allons montrer que l’effet Magnus fait intervenir un deuxième phénomène capable de dévier le ballon : la déviation de la force de traînée. Nous allons même voir que dans certaines conditions (avec un ballon de surface lisse notamment), ce deuxième phénomène peut conduire à l’inversion du signe de la force de Magnus (et renverser la courbure de la trajectoire du ballon, rien que ça…).
Mais avant de comprendre comment ce phénomène intervient, commençons par voir comment se passe l’écoulement d’un fluide visqueux autour d’un ballon qui n’est pas en rotation.

Tout d’abord, lorsque les premiers scientifiques ont essayé de décrire l’écoulement d’un fluide visqueux dans un conduit ou autour d’un objet, ils se sont rendus compte que ce dernier évoluait significativement en fonction de trois variables : (i) la vitesse du fluide v, (ii) la masse volumique du fluide  et (iii) la viscosité dynamique du fluide .
De facto, pour décrire les différents écoulements possibles, Osborne Reynolds (un ingénieur irlandais) a choisi de créer un nombre sans dimension regroupant ces trois facteurs  (Re=vL/) et a commencé à étudier la structure des écoulements en fonction de ce nombre.
La seule chose que vous avez besoin de comprendre à ce niveau, c’est que le nombre de Reynolds Re fait intervenir:

•  et  qui seront constants sur notre match de football (ils ne dépendent que de la météo).
• L: une longueur caractéristique qu’on considérera constante pour un type de ballon donné.
• et v : la vitesse de l’air (et donc du ballon) qui dépendra de la force de frappe du tireur.

• Jusqu’à Re= 2×10^5 [de A à B], plus vous frappez fort dans le ballon, plus vous augmentez sa vitesse. Or plus vous augmentez la vitesse du ballon, plus la couche limite sera courte et le sillage turbulent large et donc plus la force de traînée sera importante. En gros, plus vous tirez fort, plus le ballon est ralenti par frottement, jusque là pas de scoop…
• Lorsque Re dépasse 2×10^5 [C] , il se produit un phénomène étonnant qui s’appelle la crise de traînée. En gros, les particules d’air de la couche limite jusqu’alors quasi immobiles se mettent à bouger de façon chaotique et consomment donc en partie l’énergie que se gardait bien égoïstement le sillage turbulent. Conséquence, lorsque Re dépasse 2×10^5, le sillage turbulent rétrécit et la force de traînée diminue soudainement.

Notre force de traînée n’étant plus dans l’axe de la trajectoire de la balle transmet un moment à notre ballon déviant sa trajectoire vers la droite.

Si vous avez bien suivi ce qui été dit plus haut, vous avez compris que l’effet Magnus, permettant de modifier la courbure de vos trajectoires de balles, est le fruit de deux phénomènes physiques pouvant, dans de rares cas, s’opposer l’un à l’autre.
Vous pourriez alors être tentés de vous demander s’il n’est pas possible d’inverser la force de Magnus avec un ballon de football (comme pour le ballon de plage).
Et bien, en partie oui… en tout cas il est mathématiquement possible d’opposer temporairement les deux phénomènes. Personnellement, je pense ne l’avoir vu qu’une seule fois à l’oeuvre [en 1997 au stade de Gerland avec Monsieur Roberto Carlos à la réalisation [souvenirs ici]].
Toutefois, en pratique, la rugosité du ballon de foot ne permet pas une véritable inversion de la force de Magnus.
En effet, comme expliqué plus haut, la rugosité de la surface d’un ballon de football diminue le nombre de Reynolds limite nécessaire à l’apparition de la crise de traînée (10^5 pour un ballon de football contre 2×10^5 pour un ballon de plage). Par conséquent, les ballons de football possèdent presque constamment leurs deux couches limites turbulentes [Phase C décrite en figure 4] (ce qui rend les trajectoires plus stables). Ainsi, pour faire passer la couche limite de l’une des faces du ballon de football en régime laminaire [Phase A et B décrites en figure 4] il faut que la vitesse de la couche limite (ωxr) soit suffisamment proche de la vitesse linéaire de la balle pour que :
V-ω x r < 10^5 x  / L
Le problème étant que même si les couches limites turbulentes se décollent plus difficilement que les couches limites laminaires, si l’on augmente fortement la vitesse de rotation du ballon, la couche limite turbulente (à droite dans la figure 6) se décollera tout de même un peu plus en amont et la force de traînée s’en trouvera moins déviée que sur le schéma.
Ainsi, la déviation de la force de traînée peut permettre d’atténuer l’effet de la force Magnus sur une partie de la trajectoire du ballon (par asymétrie de la crise de traînée). Une fois la couche laminaire repassée en régime turbulent, l’effet Magnus ‘traditionnel’ reprendra le dessus et la courbure de la trajectoire s’amplifiera à la dernière minute.

Enfin, pour ceux qui aimeraient postuler au poste de latéral gauche du Brésil, sachez que pour reproduire un tel exploit, la météo n’est pas à négliger.
En effet, en prenant r=L=11cm; et une frappe à 130 km/h (vitesse enregistrée lors du France-Brésil de 1997);
sachez que la vitesse de rotation à transmettre au ballon pour atténuer l’effet Magnus varie de presque 10% entre l’hiver et l’été.
A vos thermomètres donc!

Vous voilà l’heureux propriétaire d’un joli pavillon en proche banlieue parisienne. Certes ce n’est pas Paris, mais à ce qu’on vous a dit, la ville est bien desservie. En fait, un arrêt de bus se trouve à juste deux encablures de chez vous. Vous avez même mis la main sur un prospectus indiquant le passage régulier de bus vers la capitale (selon la compagnie: en moyenne toutes les 15 minutes!).
Vous voilà rassuré.
Les semaines passent… et peu à peu, le doute vous envahit. A chaque fois qu’il vous a fallu prendre ce bus, il vous a semblé attendre drôlement longtemps.
Inquisiteur, vous décidez alors de mesurer votre temps d’attente moyen à la station.
A priori, si vous tentez de prendre le bus aléatoirement en cours de la journée, vous devriez attendre en moyenne 7,5 minutes (le temps moyen de passage entre deux bus divisé par deux). En effet, les coups où vous arrivez juste avant le passage d’un bus devraient équilibrer les coups où vous arrivez juste après le passage d’un bus.
En statisticien zélé, vous persuadez même vos nouveaux voisins de vous aider à collecter ces données.
Après un peu plus de 3 mois d’observation et 500 inspections faites à l’arrêt de bus, le constat est sans appel: le temps d’attente moyen observé est de 15 minutes ! En fait, vous pouvez même assurer que le temps de passage observé entre deux bus est de 30 minutes en moyenne (alors que le prospectus indiquait un temps moyen de 15 minutes entre deux bus).
[L’ensemble des données collectées ainsi que les résultats obtenus sont joints à ce billet dans l’onglet « Inspection » du fichier téléchargeable [ici]]

En fait, ici encore, le terme paradoxe est utilisé abusivement. La dimension paradoxale de ce problème émane d’un biais logique introduit par notre méthode d’observation.
Prenons un exemple plus gourmand, imaginons que je vous dise de couper un gâteau en 10 parts inégales (avec 5 grosses parts pour les gros mangeurs et 5 toutes petites parts pour les appétits d’oiseau). Maintenant, laissez tomber aléatoirement un couteau sur votre gâteau. Vous me croirai volontiers si je vous dis que votre couteau a plus de chance de tomber sur les plus grosses parts de gâteau.

Et bien dans notre histoire, c’est un peu ce qui s’est passé lorsque vous avez décidé d’inspecter les temps de passage des bus.
A chaque fois que vous vous rendiez à la station, vous aviez plus de chance de tomber sur un temps d’attente long (ex: deux bus espacés de 25 minutes) qu’un temps d’attente court (ex: deux bus espacés de deux minutes).
Résultat des comptes, la moyenne observée (30 minutes entre deux bus) est deux fois supérieure à la moyenne réelle de passage entre deux bus (15 minutes).
Pour le cas d’un réseau de bus dont l’arrivée à la station suit un processus de Poisson [1] , ce facteur 2 peut même être démontré mathématiquement. [Si cela vous intéresse, je vous invite à jeter un œil aux pages 64 et 65 du polycopié ci joint (Attention, quelques notions avancées de probabilité sont toutefois requises)] 

Autres exemples d’application et extension au problème de confusion entre unité de sondage et unité d’analyse

Jusqu’à présent nous nous étions placés dans le cas particulier d’un problème de file d’attente suivant un processus de Poisson [1]. Ce contexte spécifique se retrouve également sous d’autres formes dans la nature:

• Intervalle de temps entre deux pannes d’une machine
• Délai d’attente entre deux clients dans une fille d’attente
• Durée de présence d’un internaute sur une page web

• Il y a encore quelques années (cela a bien changé depuis), les grandes compagnies aériennes affichaient des taux de remplissage inférieurs à 60% sur leurs vols européens. Pourtant, vous et moi n’avons jamais vraiment eu la chance de pouvoir nous étaler sur deux sièges. Une fois encore la probabilité plus élevé de voyager dans un vol plein nous oriente vers une reconstitution biaisée de la réalité.
• « Dans l’après-guerre, un quart des mères avaient quatre enfants ou plus. Pourtant dans ma classe, comme dans les autres, nous étions la moitié à appartenir à une famille d’au moins quatre enfants ».  Cet exemple rapporté par le démographe  Laurent Toulemon illustre lui aussi le biais significatif tenant à la confusion entre l’unité de sondage (les mères) et l’unité d’analyse (les enfants). 

Pour aller plus loin